Einfache Gruppe (Mathematik)

Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird.

Jede Gruppe hat sich selbst und die nur das neutrale Element enthaltende Menge als Normalteiler. Damit stellt sich die Frage, welche Gruppen keine weitere Normalteiler besitzen. Bei diesen handelt es sich per definitionem gerade um die einfachen Gruppen.

Definition

Eine Gruppe heißt einfach, falls sie als Normalteiler nur und $\{e\}$ mit dem neutralen Element hat. Oft wird zusätzlich $G\neq \{e\}$ gefordert. Beides vereinigte die knappere Definition: Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt.

Endliche einfache Gruppen

→ Hauptartikel: Endliche einfache Gruppe

Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie als „Grundbausteine“ der endlichen Gruppen, da sich jede endliche Gruppe in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren lässt. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert, die Liste besteht aus

den zyklischen Gruppen von Primzahlordnung,
den alternierenden Gruppen $A_{n}$ mit $n\geq 5$ ,
den Gruppen vom Lie-Typ (16 jeweils unendliche Serien) und
26 sporadischen Gruppen.

Unendliche einfache Gruppen

Beispiel

Die unendliche alternierende Gruppe $A_{\infty }$ , das heißt die Gruppe der geraden Permutationen der natürlichen Zahlen, ist einfach. Diese Gruppe kann konstruiert werden als direkter Limes aller $A_{n}$ unter den Standardeinbettungen $A_n\to A_{n+1}$ .

Einfache Lie-Gruppen

Abweichend von der in der Gruppentheorie üblichen obigen Definition bezeichnet man in der Theorie der Lie-Gruppen (nicht zu verwechseln mit obigen Gruppen vom Lie-Typ) eine Lie-Gruppe als einfach, wenn ihre Lie-Algebra eine einfache Lie-Algebra ist.

Das ist äquivalent zu der Bedingung, dass alle echten Normalteiler diskrete Untergruppen sind, oder dass es keine nichttrivialen zusammenhängenden Normalteiler gibt.

Beispielsweise ist SL(2,R) eine einfache Gruppe im Sinne der Lie-Gruppen-Theorie, hat aber den Normalteiler $\left\{\pm 1\right\}$ . Der Quotient $PSL(2,{\mathbb R})=SL(2,{\mathbb R})/\left\{\pm 1\right\}$ ist eine einfache Gruppe auch im Sinne der in der Gruppentheorie üblichen Definition.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de