Polygon

Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Ein Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘) oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).

Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel P := \left( P_1, P_2, \dotsc, P_n \right), P_i \in \mathbb{R}^2, 1 \le i \le n von n verschiedenen Punkten definiert ist.

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:

Klassifikation

Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Nach Anzahl der Ecken

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon

Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).
Z+L bedeutet: lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Liste regelmäßiger Polygone
Ecken Bezeichnung Griechisch Z+L Besonderheit
1 Eineck Monogon - Punkt
2 Zweieck Digon - Strecke
3 Dreieck Trigon ja 1. Fermatsche Primzahl {\displaystyle 3=2^{2^{0}}+1}
4 Viereck Tetragon ja Quadrat
5 Fünfeck Pentagon ja 2. Fermatsche Primzahl 5 = 2^{2^1}+1
6 Sechseck Hexagon ja  
7 Siebeneck Heptagon nein Näherungskonstruktion möglich
8 Achteck Oktogon ja englisch octagon
9 Neuneck Nonagon nein seltener Enneagon, Näherungskonstruktion möglich
10 Zehneck Dekagon ja  
11 Elfeck Hendekagon nein Näherungskonstruktion möglich
12 Zwölfeck Dodekagon ja  
13 Dreizehneck Tridekagon nein  
14 Vierzehneck Tetradekagon nein  
15 Fünfzehneck Pentadekagon ja  
16 Sechzehneck Hexadekagon ja  
17 Siebzehneck Heptadekagon ja 3. Fermatsche Primzahl {\displaystyle 17=2^{2^{2}}+1}
18 Achtzehneck Oktodekagon nein englisch octadecagon, octakaidecagon
19 Neunzehneck Nonadekagon nein englisch auch enneadecagon, enneakaidecagon
20 Zwanzigeck Ikosagon ja  
21 Einundzwanzigeck Ikosihenagon nein  
24 Vierundzwanzigeck Ikositetragon ja  
30 Dreißigeck Triakontagon ja  
40 Vierzigeck Tetrakontagon ja  
50 Fünfzigeck Pentakontagon nein  
51 Einundfünfzigeck Pentakontahenagon ja  
60 Sechzigeck Hexakontagon ja  
70 Siebzigeck Heptakontagon nein  
80 Achtzigeck Oktokontagon ja englisch octacontagon
85 Fünfundachtzigeck Oktokontapentagon ja englisch octacontapentagon
90 Neunzigeck Enneakontagon nein  
100 Hunderteck Hektogon nein  
257 257-Eck   ja 4. Fermatsche Primzahl 257 = 2^{2^3}+1
1.000 Tausendeck Chiliagon    
10.000 Zehntausendeck Myriagon    
65.537 65537-Eck   ja 5. Fermatsche Primzahl 65.537 = 2^{2^4}+1
100.000 Hunderttausendeck      
1.000.000 1000000-Eck Megagon    
4.294.967.295 4294967295-Eck   ja Größte bekannte ungerade Eckenanzahl, die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
10^{{100}} Googoleck Googolgon   Eckenzahl: eine 1 mit 100 Nullen
Unendlicheck Apeirogon   Theoretische Grenzform mit unendlich vielen Seiten

Weitere Typen

Klassifikation von Polygonen
Überschlagenes Polygon
Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach.
Nicht-überschlagenes Polygon
Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
Planares Polygon
In der Ebene liegendes (planares) Polygon.
Nicht-planares Polygon
Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon.

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Regelmäßiges Polygon
Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
Sternpolygon
Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
Orthogonales Polygon
Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Eigenschaften

Winkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel

 \alpha_1+\dotsb+\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ.

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

 \alpha_1'+\dotsb+\alpha_n' = 360^\circ.

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

 \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ   bzw.    \alpha' = \frac {1}{n} \cdot 360^\circ .

Diagonalen

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der n Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke P_a zur Ecke P_b ist mit der Verbindung von P_b nach P_a identisch.
  3. Genau n Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes n-Eck genau \tfrac{n \cdot (n-1)}{2} - n = \tfrac{n \cdot (n-3)}{2} Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten (x_i, y_i) gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

{\mathrm  U}\ =\ {\sqrt  {(x_{{1}}-x_{{n}})^{2}+(y_{{1}}-y_{{n}})^{2}}}\ +\ \sum _{{i=1}}^{{n-1}}{\sqrt  {(x_{{i+1}}-x_{{i}})^{2}+(y_{{i+1}}-y_{{i}})^{2}}}

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten (x_i, y_i) gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel berechnet werden:

{\displaystyle \mathrm {2} A\ =\ \left|\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\right|\ =\ \left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+x_{i+1})\cdot (y_{i+1}-y_{i})\right|\ =\ \left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-y_{i}\cdot x_{i+1})\right|}.

Hierbei werden die Indizes, die größer als n sind, immer modulo n betrachtet, das heißt mit x_{n+1} ist x_{1} gemeint:

{\displaystyle 2A\ =\ \left|x_{n}\cdot y_{1}-y_{n}\cdot x_{1}+\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}\cdot y_{i+1}-y_{i}\cdot x_{i+1})\right|}

In Determinantenform lautet die gaußsche Trapezformel:

{\displaystyle 2A\ =\ \left|\quad {\begin{vmatrix}x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\quad \right|}

Neben der gaußschen Trapezformel kann die Fläche eines Polygons durch eine vorzeichenbehaftete Summe der Flächeninhalte von Dreiecken berechnet werden, die mit den Kanten des Polygons als Basen und einem festen Punkt (zum Beispiel dem Ursprungspunkt) als Spitze gebildet werden. Die Flächeninhalte der Dreiecke mit einer dem festen Punkt abgewandten Basis (als Kante des Polygons) werden dabei mit negativen Vorzeichen versehen.

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Algorithmen

Flächeninhalt

Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind (x_i, y_i), {\displaystyle i=0\dotsc n-1}, n\in \mathbb {N} , die Koordinaten der n\geq 3 Eckpunkte des Polygons.

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1{\bmod {n}}})(x_{i}-x_{i+1{\bmod {n}}})\right|}

Der folgende Programmcode soll eine beispielhafte Implementierung – hier in der Programmiersprache C# – zeigen:

public double berechnePolygonFlaeche(double[] x, double[] y)
{
    if ((x == null) || (y == null)) // auf leere Argumente testen
    {
        return 0.0;
    }
    int anzahlDerEcken = Math.Min(x.Length, y.Length);
    if (anzahlDerEcken < 3) // ein Polygon hat mindestens drei Eckpunkte
    {
        return 0.0;
    }
    double flaecheninhalt = 0.0;
    
    // Schleife zwecks Summenbildung
    for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
    {
        // Modulo-Funktion für die Indexe der Koordinaten
        flaecheninhalt += (y[i] + y[(i + 1) % anzahlDerEcken]) * (x[i] - x[(i + 1) % anzahlDerEcken]);
    }
    return Math.Abs(flaecheninhalt / 2.0);
}

Die Koordinaten der Eckpunkte sind dabei in den beiden Arrays x und y gespeichert. Für das Beispiel-5-Eck {\displaystyle ((7,0),(8,7),(4,9),(1,6),(1,2))}, das einen Flächeninhalt von 45 hat, können diese Arrays z.B. wie folgt initialisiert werden:

double[] x = {7.0, 8.0, 4.0, 1.0, 1.0}; // beispielhafte x-Koordinaten des Polygons
double[] y = {0.0, 7.0, 9.0, 6.0, 2.0}; // beispielhafte y-Koordinaten des Polygons

Konvexe Hülle

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von n Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von \Omega (n\log n). Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von n Zahlen (Sortierverfahren). Liegen nur k der n Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei \Omega (n\log k).

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

Punkt im Polygon

Die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder außerhalb des Polygons befindet.

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:

Es wird eine horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.

Das folgende Computerprogramm in der Programmiersprache C# zeigt eine mögliche Implementierung:

		// Bestimmt, ob sich ein Punkt mit den Koordinaten (x, y) innerhalb des Polygons befindet
		public bool PunktIstInnerhalb(PointF[] ecken, int x, int y)
		{
			int anzahlDerSchnittpunkte = 0;
			int anzahlDerEcken = ecken.Length;
			
			// Ermittelt die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten des Polygons
			for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
			{
			    // Die Ecken der untersuchten Kante
				PointF ecke1 = ecken[i];
				PointF ecke2 = ecken[(i + 1) % anzahlDerEcken];
				double x1 = ecke1.X;
				double y1 = ecke1.Y;
				double x2 = ecke2.X;
				double y2 = ecke2.Y;
				
    			// Prüft, ob der Strahl die Kante des Polygons schneidet
				if (x < x1 && x > x2 || x > x1 && x < x2 && y > (x * y1 - x * y2 - x2 * y1 + x1 * y2) / (x1 - x2))
				{
					anzahlDerSchnittpunkte++;
				}
			}
			// Wenn die Anzahl ungerade ist, gib true zurück
			// Wenn die Anzahl gerade ist, gib false zurück
			return anzahlDerSchnittpunkte % 2 == 1; // Modulo-Operation für Division durch 2
		}

Verwendung

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

Beispiele für Polygone im Maschinenbau

Weiterhin wird der Begriff Polygon auch analog für die Verwendung als formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung im Maschinenbau genutzt. Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar.

Beispiele für Polygone in der Geographie

US-Bundesstaaten mit polygonalen Umrissen

Die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden näherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon.

Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.05. 2021