Website durchsuchen

Schiefhermitesche Matrix

Eine schiefhermitesche Matrix oder antihermitesche Matrix ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra. Diese spezielle Art quadratischer Matrizen mit komplexen Koeffizienten wird bei einer Spiegelung der Koeffizienten an der Hauptdiagonalen in ihre adjungierte Matrix bezüglich des komplexen Standardskalarproduktes überführt. Benannt sind diese Matrizen nach dem Mathematiker Charles Hermite.

Definition

Eine quadratische Matrix B\in \mathbb{C} ^{{n\times n}} heißt schiefhermitesch, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist, das bedeutet

B=-B^{H}=-{\overline B}^{T}.

Für die Einträge einer schiefhermiteschen Matrix gilt also

b_{{jk}}=-\overline {b_{{kj}}}.

Beispiele

{\begin{pmatrix}3i&2+i\\-2+i&i\end{pmatrix}}
mit i^2=-1 als der imäginären Einheit ist schiefhermitesch.
{\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}\mapsto {\mathrm  i},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\mapsto {\mathrm  j},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\mapsto {\mathrm  k},
die sich wie angezeigt auf die quaternionischen Erzeugenden abbilden lassen, sind schiefhermitesch und spurfrei.

Eigenschaften

{\begin{pmatrix}0&r\\-r&0\end{pmatrix}}\ ,\ r\in {\mathbb  {R}}.
C = A+B
mit A=(C+C^{H})/2 und B=(C-C^{H})/2.

Die Lie-Algebra der schiefhermiteschen Matrizen

Der Kommutator schiefhermitescher Matrizen ist wieder schiefhermitesch. Die schiefhermiteschen (n\times n)-Matrizen bilden also eine Lie-Algebra, diese wird mit {\mathfrak  u}(n) bezeichnet.

{\mathfrak  u}(n)=\left\{X\in {\mathrm  {Mat}}(n,{\mathbb  R})\colon X+{\overline X}^{{{\mathrm  T}}}=0\right\}

ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der unitären Matrizen

U(n)=\left\{A\in {\mathrm  {GL}}(n,{\mathbb  R})\colon A{\overline A}^{{{\mathrm  T}}}=E_{n}\right\}.
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 15.10. 2018