Schiefsymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher häufig mit ihnen gleichgesetzt. Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet.

Definition

Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn

A^T=-A

gilt. Anders ausgedrückt: Die Matrix A ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:


a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}

Beispiel

Die Matrix 
A=
\begin{pmatrix}
0   & 7 & 23 \\
-7  & 0 & -4 \\
-23 & 4 & 0
\end{pmatrix}
ist schiefsymmetrisch, da 
A^T=
\begin{pmatrix}
0   & -7 & -23 \\
7  & 0 & 4 \\
23 & -4 & 0
\end{pmatrix}
=-A

Eigenschaften

Reelle schiefsymmetrisch Matrizen

Ist  A \in \mathbb{R}^{n\times n} schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren sind alle Eigenwerte rein imaginär oder gleich 0.

Körpercharakteristik ungleich 2

Eigenschaften für Körper K der Charakteristik ungleich 2:

\det(A)=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\,\det(A)=-\det(A)
gleich null.
Für Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht, wie das Gegenbeispiel

A = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
 -1 & 0
\end{pmatrix}
zeigt. Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch, jedoch gilt \det(A) = 1.

Vektorraum

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension \tfrac{n(n-1)}{2}. Ist der Körper K=\R, so bezeichnet man diesen Vektorraum mit \mathfrak{so}(n). Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe \operatorname{SO}(n) (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts gerade

\begin{matrix}
\operatorname{Pr}:& \R^{n\times n}&\to& \mathfrak s\mathfrak o(n)\\
& A & \mapsto & \frac12(A-A^T)
\end{matrix}

Das orthogonale Komplement ist die symmetrische Matrix

A-\operatorname{Pr}(A)=\frac12(A+A^T).

Bilinearformen

Die Bilinearform B_A(x,y) = x^T A y zu einer schiefsymmetrischen Matrix A \in K^{n \times n} ist antisymmetrisch, das heißt,

B_A(x,y) = -B_A(y,x)

für alle x,y \in K^n. Falls die Hauptdiagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix A alle gleich null sind (wenn die Matrix also alternierend ist), dann ist die zugehörige Bilinearform B_A alternierend, das heißt,

B_A(x,x) = 0

für alle x \in K^n. Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum V die Darstellungsmatrix A_B = (B( b_i, b_j )) einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform B \colon V \times V \to K bezüglich einer beliebigen Basis \{ b_1, \ldots , b_n \} stets schiefsymmetrisch, also

(A_B)^T = -A_B,

wobei die Hauptdiagonaleinträge von A_B alle gleich null sind.

Exponentialabbildung

Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung

\begin{matrix}
\exp:& \mathfrak s\mathfrak o(n) & \to & \operatorname{SO}(n)\\
& A & \mapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}A^n
\end{matrix}

ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix I_n (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt

Für den Spezialfall n=3 können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a\in\mathbb{R}^3 und b\in\mathbb{R}^3 kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix


[a]_{\times} = \begin{pmatrix}
    0  & -a_3 &  a_2\\
    a_3 & 0 & -a_1 \\
    -a_2 & a_1 & 0 
  \end{pmatrix}

mit dem Vektor b ausgedrückt werden:


a\times b = [a]_{\times}\cdot b.

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:


\frac{\partial}{\partial b}(a\times b)=[a]_{\times}


Das Exponential der Matrix [a]_{\times} kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden


\begin{align}
\exp(t[a]_{\times})v & = \tfrac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a
+\left(v-\frac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a\right)\cos(\|a\|\,t)
+\left(\frac1{\|a\|}a\times v\right)\sin(\|a\|\,t) \\
&= v_a + v_0\cdot\cos(\|a\|\,t)+v_1\cdot\sin(\|a\|\,t).
\end{align}

Hierbei ist

v_a:=\frac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a die orthogonale Projektion von v auf die durch a aufgespannte Gerade L_a,
v_0:=v-v_a das dazu senkrechte Lot von v auf die Achse L_a,
v_1:=\frac1{\|a\|}a\times v_0  der Vektor, der aus v_0 durch Rotation um 90° um die Achse L_a entsteht.

Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor v um die durch a definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von a als Winkelgeschwindigkeit.

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 13.05. 2021