Minor (Lineare Algebra)

Minor oder Unterdeterminante ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Determinante einer quadratischen Untermatrix, die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer Matrix entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

Kofaktoren

Definition

Zu einer quadratischen $n\times n$ -Matrix $A=(a_{{ij}})_{{ij}}$ lassen sich die Kofaktoren (oder Cofaktoren) ${\tilde {a}}_{ij}$ gemäß folgender Formel berechnen:

${\tilde a}_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}\cdot M_{{ij}}$

Dabei ist $M_{{ij}}$ der Minor (n-1) -ter Ordnung, der als Determinante derjenigen Untermatrix berechnet wird, die durch Streichen der -ten Zeile und -ten Spalte entsteht.

Statt Zeilen und Spalten zu streichen, kann man auch Matrizen betrachten, bei denen die Einträge der -ten Zeile oder der -ten Spalte (oder beider) durch Nullen ersetzt werden, mit Ausnahme des Eintrags an der Stelle (i,j) , der durch eine 1 ersetzt wird. Man erhält dann für die Kofaktoren:

${\tilde a}_{{ij}}={\begin{vmatrix}a_{{1,1}}&\dots &a_{{1,j-1}}&0&a_{{1,j+1}}&\dots &a_{{1,n}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{i-1,1}}&\dots &a_{{i-1,j-1}}&0&a_{{i-1,j+1}}&\dots &a_{{i-1,n}}\\0&\dots &0&1&0&\dots &0\\a_{{i+1,1}}&\dots &a_{{i+1,j-1}}&0&a_{{i+1,j+1}}&\dots &a_{{i+1,n}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n,1}}&\dots &a_{{n,j-1}}&0&a_{{n,j+1}}&\dots &a_{{n,n}}\end{vmatrix}}$

wobei $|\cdot |$ für die Bildung der Determinante steht. Aus den Kofaktoren lässt sich wieder eine $n\times n$ -Matrix bilden, die Kofaktormatrix oder Komatrix, deren Transponierte als Adjunkte oder komplementäre Matrix bezeichnet wird. Mit ihr kann man die Inverse einer Matrix berechnen. Der Laplace'sche Entwicklungssatz verwendet die Kofaktoren einer Matrix zur Berechnung ihrer Determinante.

Beispiel

Es soll der Minor $M_{{2,3}}$ und der Kofaktor ${\tilde a}_{{2,3}}$ der folgenden Matrix bestimmt werden:

$A={\begin{pmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\end{pmatrix}}$

Durch Streichen der zweiten Zeile und dritten Spalte

${\begin{pmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \end{pmatrix}}$

entsteht die Matrix

$A_{{2,3}}={\begin{pmatrix}1&4\\-1&9\end{pmatrix}}$

Daraus lässt sich der Minor $M_{{2,3}}$ berechnen.

$M_{{2,3}}={\begin{vmatrix}1&4\\-1&9\end{vmatrix}}=9+4=13.$

Für den Kofaktor ${\tilde a}_{{2,3}}$ gilt

${\tilde a}_{{2,3}}=(-1)^{{2+3}}\cdot M_{{2,3}}=-13$

bzw.

${\tilde a}_{{2,3}}={\begin{vmatrix}1&4&0\\0&0&1\\-1&9&0\end{vmatrix}}=-13$

Hauptminoren

Definition

Entstehen Minoren durch Streichungen von Zeilen und Spalten derselben Nummern, spricht man von Hauptminoren, genauer von Hauptminoren k-ter Ordnung, wenn die Größe der Untermatrix angegeben werden soll. Bleiben genau die ersten k Zeilen und Spalten übrig, so spricht man von führenden Hauptminoren k-ter Ordnung. Die führenden Hauptminoren werden mitunter auch natürlich geordnete Hauptminoren genannt. Im deutschsprachigen Raum werden die führenden Hauptminoren oft verkürzt nur Hauptminoren genannt. Dies hängt insbesondere damit zusammen, dass für viele Anwendungen nicht alle Hauptminoren untersucht werden müssen. Außerdem ist im deutschsprachigen Raum die Bezeichnung Hauptabschnittsdeterminante für die Hauptminoren gebräuchlich.

Zur Veranschaulichung mache man sich klar, wie viele Minoren, Hauptminoren und führende Hauptminoren eine 3x3-Matrix hat. Streicht man zunächst gleichzeitig die i-te Zeile und i-te Spalte für i=1,2,3 verbleiben 3 Hauptminoren zweiter Ordnung. Streicht man jeweils mehrere Zeilen und die gleich nummerierten Spalten, tut man dies in diesem Fall also mit zweien, verbleiben 3 Hauptminoren erster Ordnung. Umso mehr Zeilen gestrichen werden, desto kleiner die Ordnung.

Die Hauptminoren haben durch das Hauptminorenkriterium eine Bedeutung für die Feststellung der Definitheit symmetrischer bzw. hermitescher Matrizen.

Beispiel zu Hauptminoren und führenden Hauptminoren

Die 3×3-Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

besitzt genau 3 führende Hauptminoren zu den Untermatrizen, die sich als deren Determinanten ergeben:

$A_{{1}}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}};\quad A_{{2}}={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}};\quad A_{{3}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.$

Führender Hauptminor 1. Ordnung: $\det(A_{1})=1;$
Führender Hauptminor 2. Ordnung: $\det(A_{2})={\begin{vmatrix}1&2\\4&5\\\end{vmatrix}}=-3$
Führender Hauptminor 3. Ordnung: $\det(A_{3})={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}=0\,.$

Führende Hauptminoren sind spezielle Hauptminoren. Sie entstehen in diesem Fall durch keinmalige, einmalige und zweimalige Streichung von Zeilen und Spalten. Es gibt nur einen Hauptminor 3. Ordnung, der gleichzeitig führend ist, nämlich die Determinante der gesamten Matrix. Allerdings sind weitere Hauptminoren 1. und 2. Ordnung denkbar:

Weiterer Hauptminor 1. Ordnung: $\det(a_{{22}})=5;$
Weiterer Hauptminor 2. Ordnung: $\det {\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{13}}\\a_{{31}}&a_{{33}}\\\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3\\7&9\\\end{vmatrix}}=-12$

Basierend auf einem Artikel in:

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