Hauptinvariante
Die Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms.
Die Komponenten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren, die sich ihrerseits komponentenweise bezüglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen. Bei einem Wechsel der Basis ändern sich die Komponenten der Vektoren in charakteristischer Weise nicht aber die Beträge der Vektoren. Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenüber einem Wechsel der Basis. In gleicher Weise sind die Hauptinvarianten des Tensors invariant gegenüber einem Wechsel der Basis, daher der Name.
Die Hauptinvarianten symmetrischer Tensoren spielen eine zentrale Rolle in der Materialtheorie. Eine wichtige Anforderung an Materialmodelle leitet sich daraus ab, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Eigenschaft wird materielle Objektivität genannt. Die Bewegung eines Beobachters wird mathematisch als Wechsel des Bezugssystems und somit als Wechsel der Vektorraumbasis beschrieben. Die Hauptinvarianten sind also Größen, die alle Beobachter in gleicher Weise wahrnehmen und die daher für die Materialmodellierung geeignet sind. Beispiele für Materialmodelle, die die Hauptinvarianten benutzen, sind das Hooke'sche Gesetz, die Hyperelastizität und Plastizitätstheorie.
Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen für Tensoren zweiter Stufe, lässt sich aber in einfacher Weise auf mehr Dimensionen verallgemeinern.
Definition
Gegeben sei ein Tensor zweiter Stufe .
Dann lautet sein charakteristisches Polynom:
.
Darin ist
die Determinante, 1 der
Einheitstensor,
eine reelle oder komplexe Zahl und die Koeffizienten
sind die drei Hauptinvarianten
Der Operator
liefert die Spur
seines Arguments,
ist die Adjunkte und
der Kofaktor
wobei letztere Identität nur gilt, wenn der Tensor invertierbar ist und
mithin
ist.
Berechnung der Hauptinvarianten
Für Tensoren zweiter Stufe ist die Addition und Multiplikation mit einem
Skalar definiert weshalb die Menge aller Tensoren zweiter Stufe einen Vektorraum bildet, der Vektorraumbasen
besitzt, die aus Dyaden bestehen, die sich wiederum mit dem dyadischen Produkt
zweier Vektoren berechnen. Sei
der Vektorraum der geometrischen Vektoren. Dann ist
der Vektorraum der Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus
in den
abbilden. Bezüglich einer Vektorraumbasis des
kann jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden und aus diesen Komponenten
können die Hauptinvarianten berechnet werden, die ja unabhängig von der Wahl der
Basis sind.
Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich der Standardbasis
Sei
die Standardbasis des
und
ein Tensor mit den Komponenten
bezüglich dieser Standardbasis. Dann berechnet sich
Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich einer allgemeinen Basis
Seien
und
zwei beliebige Basissysteme des
und
ein Tensor mit den Komponenten
bezüglich dieser Basen. Dann berechnet sich
wo die letzten beiden Determinanten den Spatprodukten der Basisvektoren entsprechen.
Zusammenhang mit dem äußeren Tensorprodukt
Das äußere Tensorprodukt # ist mittels Dyaden definiert über
Mit diesem und dem Frobenius-Skalarprodukt
„“
von Tensoren bekommen die drei Hauptinvarianten die Darstellungen
Zusammenhang mit anderen Invarianten
Eigenwerte
Die Eigenwerte
eines Tensors zweiter Stufe sind die Lösungen
seines charakteristischen Polynoms und ebenfalls Invarianten. Nach dem Satz von Vieta gilt:
.
Betrag eines Tensors
Der Betrag eines Tensors
,
definiert mit der Frobeniusnorm
und dem Frobenius-Skalarprodukt
„:“, lässt sich im Allgemeinen nicht mit den drei Hauptinvarianten darstellen.
Es gelingt aber bei symmetrischen oder schiefsymmetrischen Tensoren.
Bei symmetrischen Tensoren ist ,
d.h. der Tensor ist mit seiner transponierten
identisch, und daher
Bei schiefsymmetrischen Tensoren ist
und daher
und
Spuren der Potenzen eines Tensors
Die drei Hauptinvarianten lassen sich auch mit den Spuren der Potenzen eines Tensors darstellen, die ebenfalls Invarianten sind. Sei
dann gilt
Ableitungen der Hauptinvarianten
In der Hyperelastizität wird die Formänderungsenergie, die aufgebracht werden muss um einen Körper zu verformen, manchmal als Funktion der Hauptinvarianten des Verzerrungstensors modelliert. Die Spannungen ergeben sich dann aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach dem Verzerrungstensor, wofür die Ableitungen der Hauptinvarianten nach dem Verzerrungstensor benötigt werden. Daher lohnt es sich, diese Ableitungen bereitzustellen.
Die Ableitung
einer skalarwertigen Funktion
nach dem Tensor
ist der Tensor
für den gilt
Man schreibt dann auch
.
So berechnet sich:
Mit dem charakteristischen Polynom und dem Determinantenproduktsatz zeigt sich
Daraus berechnet sich die Ableitung
.
Diese Ableitung existiert nur, wenn T invertierbar, also det(T) ≠ 0 ist.
Anwendungen
Die folgenden Beispiele zeigen die Benutzung der Hauptinvarianten in Materialtheorien und oft benutzten Materialmodellen:
- Hookesches
Gesetz: Der Spannungstensor
berechnet sich aus dem Verzerrungstensor
gemäß
. Darin ist
der Schubmodul und
die Querkontraktionszahl.
- Hyperelastizität:
Die Formänderungsenergiedichte
im Neo-Hooke Modell ist
. Darin ist
ein Materialparameter und
der linke Cauchy-Green Tensor.
- Plastizitätstheorie,
Festigkeitslehre:
Die v.
Mises Vergleichsspannung
ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des Spannungsdeviators
.
- Inkompressibilität:
Hier ist die dritte Hauptinvariante des Deformationsgradienten
an jedem materiellen Punkt konstant:
.
Beispiel
Es wird der Nachweis der Invarianz der Spur eines Tensors erbracht. Seien
und
zwei beliebige Basissysteme des
und
.
Beim Wechsel zu anderen Basen
und
mit dualen Basen
und
berechnen sich die neuen Komponenten
gemäß
Die Spur mit den neuen Komponenten
ergibt sich also zu
was zu zeigen war.
Siehe auch
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.12. 2020