Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe SU(n) besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension $n^{2}-1,$ insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe U(n) sowie der speziellen linearen Gruppe $SL(n,{\mathbb {C}})$ .

Lie-Algebra

Die zu SU(n) korrespondierende Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(n)$ entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

$f\colon {\mathfrak {su}}(n)\to SU(n),\quad \quad g\mapsto \exp {g}$

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von SU(n) besteht aus allen Vielfachen $\xi E_{n}$ der Einheitsmatrix $E_{n}$ , die in SU(n) liegen. Da $\det(\xi E_{n})=\xi ^{n}=1$ , müssen diese Vielfachen -te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe $\Z/n\Z$ .

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere SU(n) -Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, „color, flavor, and electrical charge“). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige SU(3) -Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu $SU(2)\times SU(2)$ .

Die Gruppe SU(2) ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe SO(3) im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes ${\mathbb C}^{2}$ , mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen $\sigma _{i}$ erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes $\mathbb R^3$ , die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit $\mathrm {i}$ :

$SU(2)=\left\{\left.\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{2}}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right|{\vec {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{3}\right\}$ mit reellen Vektorkomponenten $\,\alpha _{1},\,\alpha _{2}$ und $\,\alpha _{3}$ , den „Drehwinkeln“ ( $\,\alpha _{3}$ durchläuft beispielsweise das Intervall $[-2\pi ,+2\pi ]$ ), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor ${\vec {\sigma }}$ (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!) ^[1] Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\sigma }}=\alpha _{1}\sigma _{1}+\alpha _{2}\sigma _{2}+\alpha _{3}\sigma _{3}\,.$ Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u.a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um $2\pi (=360^{\circ })$ , sondern erst bei dem doppelten Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man ${\vec {\sigma }}/2$ durch den Ortsdrehimpuls-Operator ${\vec {\mathcal {L}}}$ ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z.B. ${\mathcal L}_{3}={\tfrac {\partial }{{\mathrm i}\,\partial \varphi }}$ ). Dabei wurde $\hbar$ , die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und $\varphi$ ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 ^o aus, um eine gewöhnliche Funktion - statt eines Spinors - zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im $\mathbb {R} ^{4}$ , die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4)=SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Kommentar

↑ Dass nicht ${\vec {\sigma }}$ , sondern ${\vec {\sigma }}/2$ der Spindrehimpuls-Operator ist, ergibt sich u.a. aus der zugehörigen Lie-Algebra, der Drehimpulsalgebra.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de