Gell-Mann-Matrizen

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als $T_{j}$ mit $j=1,\dotsc ,8$ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

$\left[T_{a},T_{b}\right]={{\mathrm i}}\,f^{{abc}}\,T_{c}$

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die $f^{{abc}}$ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

$f^{{123}}=1,~f^{{147}}=f^{{246}}=f^{{257}}=f^{{345}}={\frac {1}{2}},~f^{{156}}=f^{{367}}=-{\frac {1}{2}},~f^{{458}}=f^{{678}}={\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

$T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}$

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-{\mathrm i}&0\\{\mathrm i}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-{\mathrm i}\\0&0&0\\{\mathrm i}&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-{\mathrm i}\\0&{\mathrm i}&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

Bei der SU(2) hat man anstelle der acht $\lambda$ -Matrizen die drei Pauli-Matrizen.

Die $\lambda$ -Matrizen haben folgende Eigenschaften:

Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
Sie sind spurlos, das heißt $\operatorname{tr}(\lambda_i)=0$ .
Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt $\operatorname{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$ .

Anwendung finden sie z.B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
Quarks

Literatur

Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de