Gell-Mann-Matrizen

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als T_{j} mit {\displaystyle j=1,\dotsc ,8} schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

\left[T_{a},T_{b}\right]={{\mathrm  i}}\,f^{{abc}}\,T_{c}

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die f^{{abc}} werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

f^{{123}}=1,~f^{{147}}=f^{{246}}=f^{{257}}=f^{{345}}={\frac  {1}{2}},~f^{{156}}=f^{{367}}=-{\frac  {1}{2}},~f^{{458}}=f^{{678}}={\frac  {{\sqrt  {3}}}{2}}

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

T_{a}={\frac  {1}{2}}\lambda _{a}

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-{\mathrm  i}&0\\{\mathrm  i}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}
\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}} \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-{\mathrm  i}\\0&0&0\\{\mathrm  i}&0&0\end{pmatrix}}  
\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}} \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-{\mathrm  i}\\0&{\mathrm  i}&0\end{pmatrix}} \lambda _{8}={\frac  {1}{{\sqrt  {3}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.

Bei der SU(2) hat man anstelle der acht \lambda -Matrizen die drei Pauli-Matrizen.

Die \lambda -Matrizen haben folgende Eigenschaften:

Anwendung finden sie z.B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.02. 2021