Strukturkonstante
Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.
Definition
Sei
eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer
und sei
eine Vektorraumbasis
dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen
jedes Element als Linearkombination
bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle
die Zerlegung
der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die
Konstanten
(d.h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der
Lie-Algebra.
Eigenschaften
-
- Antisymmetrie
- Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer
antisymmetrisch in den unteren Indizes;
- Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes
.
-
- Jacobi-Identität
- Aufgrund der Jacobi-Identität
für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:
-
- Tensorstruktur
- Die Strukturkonstanten sind
-Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel
gilt:
Beispiel
Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige
Lie-Algebra
in der Basis der Pauli-Matrizen
gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und
es gilt
mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol
.
Literatur
- Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7.



© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.01. 2021