Strukturkonstante
Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.
Definition
Sei eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer und sei eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle die Zerlegung
der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die Konstanten (d.h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.
Eigenschaften
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- Antisymmetrie
- Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer
antisymmetrisch in den unteren Indizes;
- Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes .
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- Jacobi-Identität
- Aufgrund der Jacobi-Identität
für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:
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- Tensorstruktur
- Die Strukturkonstanten sind -Tensoren. Das
heißt, bei einem Basiswechsel
gilt:
Beispiel
Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra in der Basis der Pauli-Matrizen gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt
mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol .
Literatur
- Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.01. 2021