Satz von Wedderburn
Der Satz von Wedderburn (nach Joseph Wedderburn) gehört zum mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er besagt, dass jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist, das heißt, wenn ein Schiefkörper nur endlich viele Elemente enthält, folgt daraus automatisch die Kommutativität der Multiplikation. Mit anderen Worten: Jeder Schiefkörper, der kein Körper ist (in dem die Multiplikation also nicht kommutativ ist), muss unendlich viele Elemente enthalten.
Neben Wedderburn (der mehrere Beweise gab, zuerst 1905) haben auch andere Mathematiker unterschiedliche Beweise für den Satz geliefert, zum Beispiel Leonard Dickson, Emil Artin, Ernst Witt (der Beweis umfasst eine Seite), Hans Zassenhaus, Israel Herstein.
Es gibt noch andere bekannte Sätze, die manchmal auch einfach Satz von Wedderburn genannt werden, wie sein Satz zur Klassifikation halbeinfacher Algebren, verallgemeinert im Satz von Artin-Wedderburn. Im Englischen wird Wedderburns Satz über endliche Schiefkörper deshalb auch Kleiner Satz von Wedderburn genannt.
Anwendung
Dieser Satz hat eine wichtige Anwendung in der synthetischen Geometrie: Für endliche affine oder projektive Ebenen folgt aus dem Satz von Desargues der Satz von Pappos. Man kann jede desarguessche Ebene als affine bzw. projektive Ebene über einem Schiefkörper K betrachten, wobei der Satz von Pappos genau dann gilt, wenn K kommutativ ist. Hier kommt der Satz von Wedderburn zum Einsatz. Für diesen rein geometrischen Sachverhalt kennt man bis heute keinen geometrischen Beweis.
Die umgekehrte Aussage: Jede pappossche Ebene ist desarguessch wird als Satz von Hessenberg (nach Gerhard Hessenberg) bezeichnet und gilt für jede affine und jede projektive Ebene.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.10. 2019