Stetige Funktion

Anschaulich gesprochen ist eine reelle stetige Funktion y=f(x) dadurch gekennzeichnet, dass ihr Graph in einen kartesischen Koordinatensystem innerhalb ihres Definitionsbereiches eine zusammenhängende Kurve ist. Oder: Ihr Graph lässt sich ohne abzusetzen zeichnen und verläuft an keiner x-Position absolut parallel zur y-Achse.

Darstellung periodischer Funktionen:
1. Zeile: stetig differenzierbar, 3. Zeile: stetig, 2. und 4. Zeile: unstetig

Hinweis: Eine Funktion mit ideal rechteckigem Verlauf wird teilweise auch in ihren unendlich steilen Flanken als durchgängiger Linienzug gezeichnet. Dieses ist nicht korrekt, denn die Funktion ist in den Flanken undefiniert. Andererseits ist bei nicht gequantelten physikalischen Größen dieser Sprung eine Abstraktion; bei genauerer Betrachtung tritt anstelle einer sprunghaften Veränderung ein Einschwingvorgang auf, für den ein durchgängiger Linienzug angemessen sein kann.

In der Mehrzahl der Anwendungen in der klassischen Physik, Chemie, Technik und Ökonomie kann vorausgesetzt werden, die Funktionen seien stetig. Ihre Graphen können Ecken oder Knicke aufweisen, aber keine Sprünge. Weisen sie auch keine Ecken oder Knicke auf, ist ihre Steigung ebenfalls stetig; diese Funktionen heißen dann stetig differenzierbar.

Die mathematische Erklärung einer stetigen Funktion baut auf dem Begriff Grenzwert auf.

Grenzwert einer Funktion

Die Funktion y=f(x) besitzt an der Stelle x=a den Grenzwert {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}, wenn sich bei unbegrenzt feiner Annäherung von x an a die Funktion f(x) ebenfalls unbegrenzt fein an A annähert.

Mathematisch gesagt: Die Funktion besitzt einen Grenzwert A, wenn zu einem (beliebig kleinen) \varepsilon >0 eine Zahl {\displaystyle \delta (\varepsilon )>0} gibt, derart

dass für alle x mit {\displaystyle 0<|x-a|<\delta \quad } gilt: {\displaystyle \quad |f(x)-A|<\varepsilon }.

Diese Definition umfasst sowohl eine Annäherung „von links“ (wenn {\displaystyle x<a}) als auch „von rechts“ (wenn {\displaystyle x>a}>) an denselben Wert A.

Es muss sich ein {\displaystyle 2\,\delta } breiter Bereich um a angeben lassen, in dem sich alle Punkte der Funktion y=f(x) noch in einem {\displaystyle 2\,\varepsilon } breiten Streifen um A befinden

Anschaulich bedeutet dieses, dass sich f(x) von seinem Grenzwert A beliebig wenig unterscheidet (um weniger als \varepsilon ), wenn sich ein Bereich angeben lässt, in dem der Abstand zwischen x und a kleiner als \delta ist, ohne dass der Abstand gleich null wird. Die Funktion y=f(x) muss an der Stelle x=a nicht den Wert A annehmen, und braucht auch an dieser Stelle gar nicht definiert zu sein. Der Grenzwert der Funktion an der Stelle a wird allein aus der Kenntnis der Umgebung der Stelle a erklärt,– ohne Kenntnis, ob ein Funktionswert f(a) überhaupt existiert.

Beispiel: Für die Funktion {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}} ist der Funktionswert {\displaystyle f(1)={\frac {0}{0}}} undefiniert. Für sie gibt es aber den Grenzwert {\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=2}. Denn für jedes x\neq 1, auch in unbegrenzt feiner Annäherung, lässt sich kürzen:
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1\ ;\quad f(x)-A=(x+1)-2=x-1}.
Für die Existenz eines Grenzwertes bei a=1 muss sich ein \delta mit {\displaystyle |x-a|=|x-1|<\delta } angeben lassen, für welches {\displaystyle |f(x)-A|=|x-1|<\varepsilon } gilt. Das ist hier bei {\displaystyle \delta \leq \varepsilon } erfüllt ist.

Auf einer Parallelen zur y-Achse, bei x=a, gibt es keinen Grenzwert, weil die Voraussetzung {\displaystyle |x-a|>0} nicht erfüllt ist.

Sonderfälle

Stetigkeit einer Funktion

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}&{\text{wenn }}x\neq 1\\\ 2&{\text{wenn }}x=1\end{cases}}}
Anstelle von a können auch die uneigentlichen Grenzwerte \pm\infty treten.
Weitere Zusammenhänge
{\displaystyle y=b\cdot f(x)\quad {\text{mit reellen }}b}
{\displaystyle y=f(x)+g(x)}
{\displaystyle y=f(x)-g(x)}
{\displaystyle y=f(x)\cdot g(x)}
{\displaystyle y={\frac {f(x)}{g(x)}}\quad {\text{mit }}g(x)\neq 0{\text{ im Intervall}}}
{\displaystyle y=|f(x)|}

Unstetige Funktion

Eine Funktion, die mindestens eine Unstetigkeitsstelle enhält, ist unstetig. Die Kurve der Funktion ist an dieser Stelle unterbrochen.

Eine Unstetigkeitsstelle liegt bei x=a vor, wenn dort ein Funktionswert nicht vorhanden ist (Definitionslücke) oder ein Grenzwert nicht vorhanden ist oder Funktionswert und Grenzwert verschieden sind. Die Definitionslücke kann hebbar sein (Beispiel: In {\displaystyle f(x)={\tfrac {\sin x}{x}}} kann die Lücke bei x=0 durch f(0)=1 geschlossen werden), oder sie kann nicht hebbar sein (Beispiel: In {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}} gibt es bei x=0 eine Polstelle). An einer Sprungstelle fehlt der Grenzwert, weil der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert verschieden sind.

Ein Digitalsignal in rot, das einem stetigen Vorgang nur zu diskreten Abtastzeitpunkten mit diskreten Signalwerten folgt

Die in der Technik bekanntesten unstetigen Vorgänge sind solche, die sich nur schrittweise verändern können, wie eine Messung durch Zählung oder ein mit den Mitteln eines Digitalsignals beschriebener Vorgang, dessen Funktionswerte nur in einer begrenzten Anzahl von Quantisierungsstufen darstellbar ist. Kann diese Anzahl so groß sein, dass eine Änderung um eine Stufe nicht erkennbar ist, wird auch von einem quasistetigen Vorgang gesprochen.

Ein Beispiel einer unstetigen Funktion aus der Wirtschaft ist der Mengenpreis in der Abhängigkeit von der Menge, wenn er gestaffelt ist (beispielsweise für Heizöl).

Zu naturwissenschaftliche Anwendungen gibt es in der Literatur durchaus unstetige Funktionen. Zwei Beispiele werden hierzu genannt:

Siehe auch

Stetigkeit

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.09. 2019