Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. Eine Funktion f\colon A \to B ordnet jedem a \in A ein eindeutig bestimmtes Element b \in B zu, das mit f(a) bezeichnet wird. Umgekehrt kann es sein, dass für ein b \in B kein a \in A mit b = f(a) existiert oder es kann mehr als ein a \in A mit b = f(a) geben. Eine Funktion f, bei der für jedes b \in B genau ein a \in A mit b = f(a) existiert, wird bijektiv genannt. Für solche Funktionen kann man eine Funktion f^{-1} bilden, die jedem b \in B dieses eindeutig bestimmte a \in A mit b = f(a) zuordnet. Diese Funktion f^{-1} \colon B \to A ist dann die Umkehrfunktion von f. Eine Funktion, deren Umkehrfunktion existiert, wird auch als invertierbar bezeichnet.

Definition

Wenn f : A \rightarrow B eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet f^{-1} : B \rightarrow A die Umkehrfunktion. Dabei ist die hochgestellte -1 nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen.

Der Funktionswert f^{-1}(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x \in A, das die Gleichung f(x) = y erfüllt.

Eine alternative Schreibweise ist \bar f (f quer), was allerdings leicht mit der komplexen Konjugation verwechselt wird.

Beispiele

f^{-1} \colon \R \to \R, \quad f^{-1} (x) = (x - 2)/3 .

Eigenschaften

( f^{-1} )^{-1} = f.
f( f^{-1} (x)) = x für alle x \in B,
f^{-1}(f(x)) = x für alle x \in A.
Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen lässt sich dies auch so schreiben:
f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B
f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A.
f(g(x)) = x für alle x \in B und
g(f(x)) = x für alle x \in A,
dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f.
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.
Diese Aussage findet seine Verallgemeinerung im Satz von der Umkehrabbildung.

Berechnung

Ist f : A \to B eine Funktion und gelingt es, die Gleichung y = f(x) durch Äquivalenzumformung in die Form x = g(y) zu bringen, also äquivalent nach x aufzulösen (wobei x \in A, y \in B und g: B \to A gilt), dann ist f als bijektiv nachgewiesen und die Umkehrfunktion von f (nämlich g) bestimmt.

Beispiele:

Die Umkehrfunktion von f lautet daher f^{-1}(y)=\tfrac{y+1}{2}. Da es üblich ist, das Argument mit x zu bezeichnen, schreibt man auch: f^{-1}(x)=\tfrac{x+1}{2}.
(Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da x als positiv vorausgesetzt ist.) Die Umkehrfunktion lautet also: f^{-1}(y) = y + \sqrt{y^2+1}

Verallgemeinerungen

Für allgemeinere Anwendungen ist der oben eingeführte Begriff der Umkehrfunktion als Inverses einer Bijektion zu eng. Entsprechend existieren Verallgemeinerungen für solche Gegebenheiten, von denen zwei nachfolgend vorgestellt werden.

Links- und Rechtsinverse

Für eine Funktion f: X \rightarrow Y heißt eine Funktion g: Y \rightarrow X Linksinverse (oder Retraktion), wenn

g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\!

Das heißt, die Funktion g erfüllt

\text{Wenn }f(x) = y\text{, dann }g(y) = x . \,\!

g muss also gleich der Umkehrfunktion von f im Wertebereich von f sein, kann aber beliebige Werte für Elemente aus Y annehmen, die nicht Resultat von f sind. Eine Funktion f hat Linksinverse genau dann, wenn sie injektiv (linkseindeutig) ist.

Eine Rechtsinverse (Koretraktion) von f (oder, bei Faserbündeln, ein Schnitt von f) ist eine Funktion h: Y \rightarrow X, so dass

f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\!

Das heißt, die Funktion h erfüllt

\text{Wenn }h(y) = x\text{, dann }f(x) = y . \,\!

h(y) kann also jedes Element von X sein, das von f auf y abgebildet wird. Eine Funktion f hat Rechtsinverse genau dann, wenn sie surjektiv (rechtstotal) ist. (Die Konstruktion solch einer Inversen erfordert im Allgemeinen das Auswahlaxiom.)

Eine Funktion kann mehrere Links- oder Rechtsinverse haben; es gibt jedoch nur eine eindeutige Funktion, die zugleich Links- als auch Rechtsinverse ist.

Beispiele

Linksinverse treten oft als Inverse von Einbettungen auf.

Zum Beispiel sei f eine Funktion, die jedem Farbnamen ('rot', 'grün', 'blau' usw.) seine Farbe zuweist. Dann wäre ein Retrakt eine Funktion g, die für jede Farbe einen Farbnamen ergibt.

Als numerisches Beispiel sei f die Einbettung von \mathbb{Z} in \mathbb{Q}. g kann dann z.B. die größte ganze Zahl liefern, die kleiner oder gleich dem Argument ist.

Rechtsinverse treten oft als Funktionen auf, die Repräsentanten einer Menge bestimmen.

Sei beispielsweise f\colon \text{Art} \rightarrow \text{Gattung} eine Funktion, die jeder Art ihre Gattung zuweist. Das Rechtsinverse h ist eine Funktion, die für jede Gattung eine typische Art benennt. Politische Vertretung liefert viele Beispiele. Hier könnte f etwa die Staatsangehörigkeit eines Menschen sein, h das Staatsoberhaupt eines Staates.

Als mathematisches Beispiel für ein Rechtsinverses wäre f eine Auswertungsfunktion, die Termen einen Wert zuweist (diese ausrechnet). So haben etwa die Terme '2/4', '3/6', '1-1/2' usw. alle denselben Wert 0,5. h wäre dann eine Funktion, die für jeden Wert einen typischen Term liefert, hier vielleicht '1/2'.

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.01. 2019