Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, also eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“. Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.

Das Auswahlaxiom

Sei A eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt F eine Auswahlfunktion für A, falls F jedem Element X von A ein Element von X zuordnet, das heißt F hat den Definitionsbereich A und es gilt:

\forall X\in A:F(X)\in X.

F wählt also aus jeder Menge X in A genau ein Element aus.

Das Auswahlaxiom lautet dann: Für jede Menge nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion.

Beispiel: Sei A=\{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}. Die auf A durch

F(\{0,2\})=2;\quad F(\{1,2,5,7\})=2;\quad F(\{4\})=4

definierte Funktion F ist eine Auswahlfunktion für A.

Alternative Formulierungen

Bemerkungen

Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion. Man hat aber trotzdem kein Verfahren, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage.

Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne das Auswahlaxiom:

Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

Es existieren allerdings Abschwächungen des Auswahlaxioms, die dieses nicht implizieren, aber für Fälle wie die beiden Beispiele die Existenz zeigen, beispielsweise für den ersten Fall das Axiom CC (für „Countable Choice“), welches besagt, dass eine Auswahlfunktion existiert, wenn die Mengenfamilie abzählbar ist.

Kurt Gödel zeigte 1938, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel. Das Auswahlaxiom folgt, wie Waclaw Sierpinski 1947 bewies, aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese.

Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neueren wie der Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom bewusst verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken.

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen, die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz. Zermelo führte das Auswahlaxiom ein, um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren. Die Namen Lemma und Satz rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.11. 2018