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Surjektivität

Eine surjektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge.

Surjektivität (surjektiv) oder Rechtstotalität (rechtstotal; in der Sprache der Relationen) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Eine Funktion ist bezüglich ihrer Bildmenge immer surjektiv. Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.

Definition

Es seien X und Y Mengen, sowie f\colon\, X \to Y eine Abbildung.

f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert. Eine solche Abbildung kann wie folgt geschrieben werden: f\colon\, X \twoheadrightarrow Y.

Formal: \forall y \in Y \ \exists x \in X\colon\, f(x)=y

Grafische Veranschaulichungen

Beispiele und Gegenbeispiele

f_1\colon\, \R \rightarrow \R,\, x \mapsto x^2 ist nicht surjektiv, da z.B. -1 kein Urbild hat.
f_2\colon\, \C \rightarrow \C,\, x \mapsto x^2 ist surjektiv.

Eigenschaften

Mächtigkeiten von Mengen

Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit |A| einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun f\colon\, A \to B eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann B höchstens so viele Elemente wie A haben, es gilt also |B| \le |A|.

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist f\colon\, A \to B surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von B kleiner oder gleich der Mächtigkeit von A, ebenfalls geschrieben als |B| \le |A|.

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2017