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Urbild (Mathematik)

Das Urbild des Elementes {\displaystyle 0} oder der einelementigen Teilmenge \{0\}\subseteq B ist die dreielementige Menge {\displaystyle \{2,3,5\}\subseteq A}.

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff im Zusammenhang mit Abbildungen und Funktionen. Das Urbild einer Menge M unter einer Funktion f ist die Menge der Elemente, die durch f auf ein Element in M abgebildet werden. Ein Element x aus der Definitionsmenge von f liegt also genau dann im Urbild von M, wenn f(x) in M liegt. Damit ist das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge B einer Funktion f\colon A\to B eine Teilmenge ihrer Definitionsmenge A. Da Funktionen linkstotal sind, entspricht das Urbild der Definitionsmenge, wenn man die gesamte Bildmenge betrachtet.

Definition

Sei f\colon A\to B eine Funktion und M eine Teilmenge von B. Dann bezeichnet man die Menge

{\displaystyle f^{-1}(M):=\left\{x\in A\mid f(x)\in M\right\}}

als das Urbild von M unter f.

Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion, die jedem Element M der Potenzmenge {\mathcal  {P}}(B) der Zielmenge B das Urbild f^{{-1}}(M) als Element der Potenzmenge \mathcal{P}(A) der Definitionsmenge A zuordnet.

Das Urbild einer einelementigen Menge M=\{b\} schreibt man auch als

{\displaystyle f^{-1}(b):=f^{-1}(\{b\})=\{x\in A\mid f(x)=b\}}

und nennt es das Urbild von b unter f. Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten).

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln.

Beispiele

Für die Funktion {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } (ganze Zahlen) mit f(x)=x^{2} gilt:

{\displaystyle f^{-1}(4)=\{2,-2\}}
f^{{-1}}(0)=\{0\}
f^{{-1}}(3)=\emptyset
f^{{-1}}(-1)=\emptyset
{\displaystyle f^{-1}(\{1,4\})=\{-2,-1,1,2\}}

Eigenschaften

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Mengenoperationen und -eigenschaften

Es sei f\colon A\to B eine Funktion, und M und N seien Teilmengen von B. Dann gilt:

Bild und Urbild

Es sei f\colon A\to B eine Funktion, M eine Teilmenge von A und N eine Teilmenge von B. Dann gilt:

Urbild und Komposition

Für beliebige Mengen A,B,C und beliebige Funktionen {\displaystyle f\colon A\to B,g\colon B\to C} bezeichne g \circ f\colon A \to C die Komposition von g mit f.

Dann gilt für jede Teilmenge {\displaystyle C'\subseteq C}:

{\displaystyle ({g\circ f})^{-1}(C')=(f^{-1}\circ g^{-1})(C')=f^{-1}(g^{-1}(C'))}.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.06. 2020