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Potenzmenge

Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Man notiert die Potenzmenge einer Menge X meist als {\mathcal {P}}(X). Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge {\mathcal {P}}(X) einer Menge X ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen U von X besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

{\mathcal {P}}(X):=\{U\mid U\subseteq X\}.

Dabei ist zu beachten, dass auch die leere Menge \emptyset und die Menge X Teilmengen von X sind, also Elemente der Potenzmenge {\mathcal {P}}(X). Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind {\mathfrak {p}}(X),\ 2^{X},\ \mathrm {Pot} (X),\ \Pi (X),\ \wp (X) und {\mathfrak {P}}(X).

Beispiele

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation \subseteq ist eine Halbordnung auf {\mathcal {P}}(X) (und keine Totalordnung, wenn X mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist \emptyset , das größte Element ist X.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung ({\mathcal {P}}(X),\subseteq ) ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von {\mathcal {P}}(X) ein Infimum und ein Supremum (in {\mathcal {P}}(X)) gibt. Konkret ist für eine Menge T\subseteq {\mathcal {P}}(X) das Infimum von T gleich dem Durchschnitt der Elemente von T, und das Supremum von T ist gleich der Vereinigung der Elemente von T, also

\inf(T)=\bigcap _{M\in T}M\quad {\text{ und }}\quad \mathrm {sup} (T)=\bigcup _{M\in T}M.

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

\inf(\emptyset )=X\quad {\text{ und }}\quad \sup(\emptyset )=\emptyset .

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung {}^{\mathrm {c} }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X) heran, ist ({\mathcal {P}}(X),\cap ,\cup ,^{\mathrm {c} },\emptyset ,X) ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf {\mathcal {P}}(X) ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und X ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge T\subseteq X kann man die charakteristische Funktion \chi _{T}\colon X\to \{0,1\} zuordnen, wobei gilt

\chi _{T}(x):={\begin{cases}1,&x\in T\\0,&x\not \in T\end{cases}}

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen {\mathcal {P}}(X) und \{0,1\}^{X} (wobei die Notation B^{A} für die Menge aller Funktionen von A nach B benutzt wird). Dies motiviert für {\mathcal {P}}(X) auch die Schreibweise 2^{X}, denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist 2=\{0,1\} (allgemein: n=\{0,...,n-1\}).

Die Korrespondenz {\mathcal {P}}(X)\cong \{0,1\}^{X} ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

|M| bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge M.

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch 2^{|X|} für die Mächtigkeit |{\mathcal {P}}(X)|=\left|2^{X}\right| der Potenzmenge einer unendlichen Menge X. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen X, dass |{\mathcal {P}}(X)| die nach |X| nächstgrößere Mächtigkeit ist: \mathrm {GCH} \implies (|X|<|Y|\implies |{\mathcal {P}}(X)|\leq |Y|).

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit {\mathcal {P}}_{\kappa }(X)=\{U\subseteq X:|U|<\kappa \} wird die Menge derjenigen Teilmengen von X bezeichnet, die weniger als \kappa Elemente enthalten. Beispielsweise ist {\mathcal {P}}_{3}(\{a,b,c\})=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}: Die Menge \{a,b,c\} selbst fehlt, da sie nicht weniger als 3 Elemente hat.

Potenzklasse

Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation \in stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

Sonstiges

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.01. 2021