Menge (Mathematik)

Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne Elemente zu einer Menge zusammen (in der Mathematik insbesondere Zahlen, aber auch z. B. in der Statistik die in einer Stichprobe getesteten Personen, Personen eines Jahrganges, Personen mit Bluthochdruck als vermutetem Risikofaktor für Krankheiten). Eine Menge muss kein Element enthalten (es gibt genau eine Menge ohne Elemente, die „leere Menge“). Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt.

Begriff und Notation von Mengen

Menge als gedankliche Zusammenfassung von Objekten

Der Begriff Menge geht auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 bis 1848 heißt es: „Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile [selbst] bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen;“. Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen, Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zu zählende Sorte und Art von Elementen.

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa M = {blau, gelb, rot}, wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Das heißt, es gilt beispielsweise {blau, rot, gelb} = {blau, gelb, rot} = {blau, blau, gelb, rot}.

Oft ist es ungünstig oder (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. Es gibt aber eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel M = { x | x ist eine Grundfarbe }.

Daneben prägte Dedekind das Synonym des Systems, zu welchem er Elemente zusammenfasste. Diese Bezeichnung ist heute noch teilweise üblich, so nennt man eine „Menge von Vektoren“ auch kurz ein Vektorsystem.

Andere Schreibweisen

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

Die aufzählende Schreibweise M = { blau, gelb, rot } kann als eine Abkürzung für die umständlichere Schreibweise M = { x | x = blau oder x = gelb oder x = rot } verstanden werden.
Bei der Schreibweise mit Auslassungspunkten werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: M = { 3, 6, 9, 12, …, 96, 99 }. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als M = { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = { 4, 6, 8, 10, … } die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die größer sind als 2.
Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie aus A und B die Schnittmenge $M = A\cap B$ . Diese kann intensional geschrieben werden als M = { x | x ist in A und x ist in B }.
Ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen, bei welcher mindestens ein Grundelement explizit angegeben wird und dann mindestens eine Regel, wie aus einem Element ein weiteres Element abgeleitet werden kann. So kann die obige Menge G ebenfalls beschrieben werden durch

i) 4 ist in G und

ii) für jedes x in G ist auch (x + 2) in G und

iii) nur Elemente, die durch i) und wiederholte Anwendung von ii) erhalten werden, sind in G.

Mächtigkeit

→ Hauptartikel: Mächtigkeit

Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit (oder Kardinalität) gleich der Anzahl der Elemente der Menge; das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Der Begriff lässt sich auch auf unendliche Mengen verallgemeinern; es stellt sich heraus, dass zwei unendliche Mengen nicht gleichmächtig sein müssen. Die Mächtigkeit einer Menge wird im Allgemeinen mit |M| , gelegentlich auch mit $\#M$ notiert.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt Element einer Menge , so schreibt man dafür formal: $x \in M$ . Die Verneinung ( ist kein Element von ) schreibt man als: $x \notin M$ . Historisch geht das Elementzeichen $\in$ zurück auf den griechischen Buchstaben ε als Anfangsbuchstabe von εστί (estí, es ist) und wurde 1889 von Giuseppe Peano zum ersten Mal verwendet.

Gleichheit von Mengen und Extensionalität

Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

$A=B :\Longleftrightarrow \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)$

Tatsächlich muss eine Menge aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen , die eine wohlbestimmte Definitionsmenge haben sollte), sodass $x \in A$ genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann:

$A = \{x \in D \mid \mathit{P}(x) \}$

Zu jeder Menge gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x) , die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind $\{x \in D \mid \mathit{P}(x) \}$ und $\{x \in D \mid \mathit{Q}(x) \}$ die gleiche Menge?“

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz $A=B\iff(A\subseteq B\land B\subseteq A)$ .

Extensionalität

→ Hauptartikel: Extensionalitätsaxiom

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen: beispielsweise $G := \{ x \in \mathbb{N} \vert x \bmod 2 = 0 \and x > 2 \}$ , gelesen „sei G die Menge aller x, für die gilt: x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“ oder kürzer: „sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen > 2“.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Leere Menge

→ Hauptartikel: Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit $\emptyset$ oder auch $\{\}$ bezeichnet und hat die Mächtigkeit $|\emptyset| = 0$ . Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. Folglich sind $\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält.

Nichtleere Menge

Eine nichtleere Menge ist eine Menge, die nicht die leere Menge ist. Eine nichtleere Menge enthält daher mindestens ein Element. Die Mächtigkeit einer nichtleeren Menge ist größer als 0.

Teilmenge

→ Hauptartikel: Teilmenge

A ist eine (echte) Teilmenge von B

Eine Menge heißt Teilmenge einer Menge , wenn jedes Element von auch Element von ist.

wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von genannt. Formal:

${A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow \forall x \left( {x} \in A \rightarrow x \in B \right)$ .

Insbesondere ist also auch jede Menge A Teilmenge von sich selbst: ${A}\subseteq {A}$ . Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

ist echte Teilmenge von (oder ist echte Obermenge von ), wenn Teilmenge von ist, aber von verschieden, also jedes Element aus auch Element von ist, aber (mindestens) ein Element in existiert, das nicht in enthalten ist.

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine strenge Halbordnung.

Es sind zwei Notationen für Teilmengen :

${A}\subseteq {B}$ für „Teilmenge“ und ${A}\subset {B}$ für „echte Teilmenge“ oder
${A}\subset {B}$ für „Teilmenge“ und $A \subsetneq B$ für „echte Teilmenge“.

Das erstgenannte System entspricht dem vom Bertrand Russell (Principia Mathematica) eingeführten und verdeutlicht die Analogie zu den Zeichen $\leq$ und . Es wird in diesem Artikel verwendet, es sind jedoch beide Systeme weit verbreitet.

Die Negation der Relationen $\in$ , $\subset$ und $\subseteq$ kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $\notin$ . Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $x\in A$ auch $A\ni x$ , anstelle von $A\subseteq B$ auch $B\supseteq A$ und anstelle von $A\subset B$ auch $B\supset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

Schnittmenge (Schnitt, auch „Durchschnitt“)

Schnittmenge $A \cap B$

Gegeben ist eine nichtleere Menge von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von enthalten sind. Formal:

$\bigcap U := \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}$ .

Die Schnittmenge von ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge gilt:

$X \subseteq \bigcap U \iff \forall a \in U : X \subseteq a$ .

Elementmengen ohne gemeinsame Elemente heißen elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Ist eine Paarmenge, also $U\,=\{A,B\}$ , so schreibt man für $\bigcap U$

${A}\cap{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \and \left( x \in {B} \right) \}$

und liest dies: geschnitten mit (oder: Der Durchschnitt von und ) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in als auch in enthalten sind.

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen ${A_1, A_2,\dotsc, A_n}$ verallgemeinern.

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:

Die Elemente der Menge , die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit $A_\lambda$ bezeichnet. Es wird eine „Indexmenge“ $\Lambda$ (Lambda) eingeführt, sodass $U = \{A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}$ ist. Die Schnittmenge $\bigcap U$ wird dann geschrieben als:

$\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \forall\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$ ,

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen $A_\lambda$ enthalten sind.

Eine ältere Bezeichnung für den Durchschnitt ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch als

$A_1 \cdot A_2 \cdot \dotsc \cdot A_n$ oder $\prod_{i=1}^n A_i$

geschrieben. Insbesondere die letzte Schreibweise ist von vielen Autoren für das kartesische Produkt (siehe unten) reserviert und sollte daher nicht für die Schnittmenge verwendet werden, um Missverständnisse zu vermeiden.

Vereinigung (Vereinigungsmenge)

Vereinigungsmenge $A \cup B$

Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von enthalten sind. Formal:

$\bigcup U := \{x \mid \exists a\in U : x\in a\}$ .

Die Vereinigungsmenge von ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge gilt:

$\bigcup U \subseteq X \iff \forall a \in U : a \subseteq X$ .

Im Gegensatz zu $\bigcap U$ ist $\bigcup U$ auch dann erklärt, wenn leer ist, und zwar ergibt sich $\bigcup \emptyset = \emptyset$ .

Für $U\,=\{A,B\}$ schreibt man (analog zum Durchschnitt):

${A}\cup{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \}$

und liest dies: vereinigt mit (oder: Die Vereinigung von und ) ist die Menge aller Elemente, die in oder in enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen: Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Wenn Mengen keine gemeinsame Elemente enthalten, sie also disjunkt sind, verwendet man auch das Zeichen $\dot{\cup}$ für die Vereinigung dieser disjunkten Mengen. Während jedoch das Zeichen für die Vereinigung $A \cup B$ intuitiv mit dem des Junktors $\or$ (oder) identifiziert werden kann, muss zwischen dem Zeichen für die disjunkte Vereinigung $A\mathbin{\dot{\cup}} B$ und dem Junktor $\dot\vee$ (ausschließendes oder) unterschieden werden.

Unter Verwendung einer geeigneten Indexmenge $\Lambda$ schreibt man:

$\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \exists\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$ .

Diese Schreibweise ist auch für die Vereinigung endlich vieler Mengen ${A_1, A_2,\dotsc, A_n}$ geeignet.

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch die Summe verwendet und dann geschrieben

$A_1 + A_2 + \dotsb + A_n$ oder $\sum_{i=1}^n A_i$ .

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.

Differenz und Komplement

Differenzmenge $A \setminus B$ : „A ohne B“

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von und (in dieser Reihenfolge) ist die Menge der Elemente, die in , aber nicht in enthalten sind. Formal:

$A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \and \left( x\not\in B \right) \}.$

Die Differenzmenge $A \setminus B$ ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge gilt:

$A \setminus B \subseteq X \iff A \subseteq B\cup X$ .

Die Differenz ist im Gegensatz zu Schnitt und Vereinigung weder kommutativ noch assoziativ.

Ist $B \subseteq A$ , so heißt die Differenz $\!\ A \setminus B$ auch Komplement von in . Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und

$B^{\mathsf C}:=\{ x \mid x \not\in B \}$

heißt einfach das Komplement von . Andere Schreibweisen für $B^{\mathsf C}$ sind $\overline B$ , $\complement B$ oder $\displaystyle B'$ .

Symmetrische Differenz

Symmetrische Differenz $A \,\triangle\,B$ :
„A ohne B“ vereinigt mit „B ohne A“

Die Menge

$A \, \triangle \, B := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) = ( A \cup B) \setminus (A \cap B)$

wird als symmetrische Differenz von und bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oder („entweder-oder“: $\veebar$ bzw. $\nleftrightarrow$ ) kann man dafür auch

$A \, \triangle \, B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \veebar \left( x\in B \right) \}$

schreiben.

Kartesisches Produkt

→ Hauptartikel: Kartesisches Produkt

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt ist eine weitere Art der Verknüpfung von Mengen. Die Elemente des kartesischen Produkts zweier Mengen sind allerdings keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte. Formal ist die Produktmenge von und definiert als

$A\times B := \{\left(a,b\right) \mid a\in A, b\in B\}$

und damit die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus und deren zweites Element aus ist. Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich das kartesische Produkt auch für die Verknüpfung endlich vieler Mengen $A_1, \ldots , A_n$ verallgemeinern:

$A_1\times \dotsc \times A_n := \{\left(a_1,\dotsc,a_n\right) \mid a_i\in A_i ~\text{für}~ i=1, \ldots , n\}$ ,

Sind die Mengen $A_1, \ldots , A_n$ alle gleich einer Menge , so schreibt man für die Produktmenge auch kurz A^n . Für die Produktmenge einer Familie von Mengen $(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ mit einer beliebigen Indexmenge $\Lambda$ wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement $\lambda$ ein Element der Menge $A_\lambda$ zuordnet, also

$\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda := \{f\colon\Lambda\to \bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda \mid \forall \lambda\in\Lambda : f\left(\lambda\right)\in A_\lambda\}$

Ob ein solches kartesisches Produkt nicht leer ist, das heißt, ob es überhaupt stets solche Funktionen wie auf der rechten Seite dieser Definitionsgleichung angegeben gibt, hängt eng mit dem Auswahlaxiom zusammen.

Wenn die Mengen $A_\lambda$ alle gleich einer Menge sind, schreibt man die Produktmenge auch kurz als $A^\Lambda$ .

Potenzmenge

→ Hauptartikel: Potenzmenge

Die Potenzmenge $\mathcal P(A)$ von ist die Menge aller Teilmengen von .

Die Potenzmenge von enthält immer die leere Menge und die Menge . Somit ist $\mathcal P(\emptyset)=\{\emptyset\}$ , also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge $\{a\}$ ist $\mathcal P(\{a\})=\{\emptyset, \{a\}\}$ , enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt genau Elemente, so hat $\mathcal P(A)$ die Elementanzahl 2^n , das heißt $|\mathcal P(A)| = 2^{|A|}$ . Dies motiviert auch die Schreibweise 2^A anstelle $\mathcal P(A)$ .

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Cantors zweites Diagonalargument) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden.

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem – je nach Fortgang der mathematischen Forschung – immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.

Beispiele für Mengenoperationen

Wir betrachten die Mengen $X = \{1,2,3\}$ , $A = \{1,2\}$ und $B = \{1,3\}$ . Es gelten beispielsweise:

$2\in A$ , $2\notin B$
$X\subseteq X$
$A\subset X$ , $B\subset X$ , $A\nsubseteq B$
$A\cap B = \{1\}$
$A\cup B = X$
Für die Komplemente bezüglich gilt $A^{\mathsf C} = \{3\}$ , $B^{\mathsf C} = \{2\}$ , $X^{\mathsf C}=\emptyset$ , $\emptyset^{\mathsf C}=X$ .
$A\setminus B = \{2\}$ , $B\setminus A = \{3\}$ , $X\setminus A = \{3\}$ , $A\setminus X = \emptyset$
$A\triangle B = \{2,3\}$ , $A\triangle X = \{3\}$ , $B\triangle X = \{2\}$
= 3, = = 2, $|\emptyset|$ = 0, $\left|\{\emptyset\}\right|$ = 1
$\mathcal P(A) = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
$\mathcal P(X) = \{\emptyset, A\cap B, B^{\mathsf C}, B\setminus A, A, B, A\triangle B, A \cup B\}$
$A\times B = \{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$ , $A\times\{3\} = \{(1,3),(2,3)\}$ , $A^2 = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ , $\{3\}^3 = \{(3,3,3)\}$
$\emptyset\notin\emptyset$ , $\emptyset\in\{\emptyset\}$ , $\emptyset\subset A$
$\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ , $\mathcal P\left(\{\emptyset\}\right) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$
$A\times\emptyset = \emptyset\times A = \emptyset$

Konkrete Beispiele seien hier nochmals benannt.

Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet $\lbrace 11, \, 22, \, 33, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77, \, 88, \, 99 \rbrace$ . 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.
Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \lbrace 1, \, 2, \, 3, \dotsc \rbrace$ ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \lbrace \dotsc, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \dotsc \rbrace$ .

Mengen in der Logik

Innerhalb der Wissenschaft der Logik beschäftigt sich vor allem das Teilgebiet der Quantorenlogik (traditioneller Begriff Prädikatenlogik) mit Mengen, ihren Elementen und der Mengenbildung im Sinne der Mengenlehre, ebenso teilweise die Theorie der Termini und die Wissenschaftslogik. Im Mittelpunkt der Untersuchungen stehen der Allquantor und der Existenzquantor. Der Allquantor wird z.B. verwendet in den Sätzen: „Alle geraden Zahlen sind ohne Rest durch zwei teilbar.“, „Alle Schwäne sind weiß.“ (bis auf die schwarzen) und „Alle Metalle leiten Strom.“, der Existenzquantor z.B. in den Sätzen: „Es gibt einige Studenten, die ein Stipendium erhalten.“ und in negierter Form: „Es gibt keine schwarzen Schwäne.“. Mittels des Allquantors und des Existenzquantors als logischen Operatoren sowie deren Negationen und logischen Termini (z.B. gerade Zahl, ohne Rest durch zwei teilbar) werden immer auch Mengen definiert, in den Beispielen z.B. die Menge aller geraden Zahlen, die Menge aller (überhaupt existierender) Schwäne, die Menge aller Metalle, die Menge aller Studenten bzw. davon auch die Teilmenge der Studenten, die auch ein Stipendium erhalten.

Zu dem Gegenstandsbereich dieses Teilgebietes der Logik, also der Definition des Mengenbegriffs, gibt es eine umfangreiche Literatur, die von verschiedenen Mengenbegriffen ausgeht. Abraham Fraenkel und Jehoschua Bar-Hillel beschrieben diese Kontroversen 1958 als eine moderne Fortsetzung des mittelalterlichen Universalienstreites. Vorherrschend sind in der Mathematik die Spielarten des Neorealismus (auch Platonismus) als Nachfolger des mittelalterlichen Realismus (Ideen sind real), wie sie insbesondere Alonzo Church, Kurt Gödel und Rudolf Carnap seit seiner Arbeit zur logischen Semantik vertreten. Diese schreiben der Menge eine selbstständige Existenz neben den Elementen der Menge zu. Da dies zu Widersprüchen führt, schreiben einige Vertreter dieser Richtung auch der Typenhierarchie von Mengen, in die diese eingeteilt werden, eine selbständige Existenz zu. Die Nominalisten (Nelson Goodman, Willard Van Orman Quine, Leon Henkin) treten gegen diese Auffassung an und nehmen an, dass Mengen als abstrakte Objekte nicht gesondert neben den Elementen existieren. Gegenstand könnten nur konkrete sinnlich wahrnehmbare Gegenstände sein. Für Nominalisten sind Aussagen über Mengen (und auch sonst alle abstrakten Objekte) nur abgekürzte Ausdrucksweisen, mit denen über konkrete Objekte gesprochen wird. Zu dieser Gruppe gehört auch Leon Chwistek und in gemäßigter Form Paul Lorenzen. Die Neokonzeptualisten, darunter die Intuitionisten und Konstruktivisten, betrachten Mengen als Konstruktionen. Sie akzeptieren nur Mengen, die intuitiv offensichtlich existieren (Studenten, die ein Stipendium erhalten) oder sich aus bereits existierenden Mengen konstruieren lassen. Der russische Logiker Alexander Sinowjew schlug vor, den logischen Begriff Klasse nicht nur als Terminus zu betrachten, sondern ihn davon unterscheidbar zusätzlich als logischen Operator zur Mengenbildung zu definieren. Um die Klasse der Zahlen zu bilden, genügt es dann einfach den Operator mit dem Begriff zu verbinden. Ist der Begriff Zahl bekannt bzw. definiert, entsteht die Klasse der Zahlen also mit dem Hinschreiben des Begriffes bzw. mit dem Aussprechen von „Die Klasse der Zahlen“. Ist Gott oder Götter definiert (z.B. prinzipiell unsterbliche, mächtige Wesen) ist mit dem Begriff Klasse der Götter eine Menge gebildet, deren Existenz nicht davon abhängt, ob ein einziges Element existiert oder auch nur existieren kann. Der Begriff: Die Klasse der runden Quadrate bildet demnach eine Menge, wenn die Eigenschaften von rund und Quadrat bekannt sind, auch wenn kein rundes Quadrat im Universum existiert und in diesem Fall existieren kann.

Weitergehende Begriffe

Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des dreidimensionalen euklidischen Raumes werden aus historischen Gründen (oder um einen Hinweis auf die darin enthaltenen Elemente zu geben) oft Punktmengen genannt. Dieser Begriff bezeugt die geometrische Herkunft der Mengenlehre.
In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus).
In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt.
Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene hinsichtlich der üblichen Ordnungsrelationen auf.
Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme.
Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch „Zuordnungen“ (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch „Abbildungen“ (Funktionen).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de