Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar, auch 2-Tupel genannt, ist in der Mathematik eine wichtige Art und Weise, zwei mathematische Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen. Die beiden Objekte müssen dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge spielt eine Rolle. Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt und sind die Basisbausteine vieler komplexerer mathematischer Objekte.

Notation

Ein geordnetes Paar ist eine Zusammenfassung zweier mathematischer Objekte a und b zu einer Einheit. Das geordnete Paar von a und b wird meist mit Hilfe runder Klammern durch

(a,b)

notiert. Dabei heißt a die linke, erste oder vordere Komponente des Paares und b die rechte, zweite oder hintere Komponente des Paares. Gelegentlich werden zur Notation auch andere Klammertypen, wie eckige Klammern, und andere Trennzeichen, wie Semikolon oder senkrechter Strich, verwendet. Wesentlich bei der Paarbildung ist die Reihenfolge der Elemente, das heißt, (a,b) und (b,a) sollen verschiedene Paare darstellen, falls a und b verschieden sind.

Gleichheit geordneter Paare

Der Begriff des geordneten Paares ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert:

Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.

Als Formel lässt sich das Paaraxiom folgendermaßen ausdrücken:

(a,b) = (c,d) \iff a=c ~\text{und}~ b=d.

Darstellung geordneter Paare als Mengen

In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar (a,b) folgende Darstellungen als Mengen:

Verwendung geordneter Paare

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.10. 2016