Körper (Algebra)

Körper im Zusammenhang mit ausgewählten mathematischen Teilgebieten (Klassendiagramm)

Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können.

Die Bezeichnung Körper wurde im 19. Jahrhundert von Richard Dedekind eingeführt.

Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper \Q der rationalen Zahlen, der Körper \R der reellen Zahlen, und der Körper \C der komplexen Zahlen.

Formale Definition

Allgemeine Definition

Ein Körper ist eine Menge K versehen mit zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen „+“ und „\cdot“ (die Addition und Multiplikation genannt werden), für die folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. \left(K,+\right) ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 0)
  2. \left(K\setminus\left\{0\right\},\cdot\right) ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 1)
  3. Es gelten die Distributivgesetze: Für alle a, b, c \in K gilt:
    a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c,    \left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c

Einzelaufzählung der benötigten Axiome

Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:

  1. Additive Eigenschaften:
    1. a+(b+c) = (a+b)+c (Assoziativgesetz)
    2. a+b = b+a (Kommutativgesetz)
    3. Es gibt ein Element 0\in K mit 0+a=a (neutrales Element)
    4. Zu jedem a\in K existiert das additive Inverse -a mit (-a)+a=0
  2. Multiplikative Eigenschaften:
    1. a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c (Assoziativgesetz)
    2. a\cdot b = b\cdot a (Kommutativgesetz)
    3. Es gibt ein Element 1\in K\setminus\{0\} mit 1\cdot a=a (neutrales Element).
    4. Zu jedem a\in K\setminus\{0\} existiert das multiplikative Inverse a^{-1} mit a^{-1}\cdot a=1
  3. Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
    1. a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c (Links-Distributivgesetz)
    2. (b+c) \cdot a = b\cdot a + c \cdot a (Rechts-Distributivgesetz)

Definition als spezieller Ring

Ein kommutativer unitärer Ring, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt.

Anders formuliert, ist ein Körper ein kommutativer unitärer Ring K, in dem die Einheitengruppe K^* gleich K\setminus\{0\}, also maximal groß, ist.

Bemerkungen

Die Definition sorgt dafür, dass in einem Körper in der „gewohnten“ Weise Addition, Subtraktion und Multiplikation funktionieren (und die Division mit Ausnahme der nicht definierten Division durch 0):

Anmerkung: Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun, ob das Element selbst negativ ist; beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl -2 die positive Zahl 2. In einem allgemeinen Körper gibt es keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen. (geordneter Körper.)

Verallgemeinerungen: Schiefkörper und Koordinatenkörper

Hauptartikel: Schiefkörper und Ternärkörper

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Multiplikation kommutativ ist, so gelangt man zur Struktur des Schiefkörpers. Es gibt jedoch auch Autoren, die für einen Schiefkörper explizit voraussetzen, dass die Multiplikation nicht kommutativ ist. In diesem Fall ist ein Körper nicht mehr zugleich Schiefkörper. Ein Beispiel ist der Schiefkörper der Quaternionen, der kein Körper ist. Andererseits gibt es Autoren, so Bourbaki, die Schiefkörper als Körper und die hier besprochenen Körper als kommutative Körper bezeichnen.

In der analytischen Geometrie werden Körper zur Koordinatendarstellung von Punkten in affinen und projektiven Räumen verwendet (Affine Koordinaten, Projektives Koordinatensystem). In der synthetischen Geometrie, in der auch Räume (insbesondere Ebenen) mit schwächeren Eigenschaften untersucht werden, benutzt man als Koordinatenbereiche („Koordinatenkörper“) auch Verallgemeinerungen der Schiefkörper, nämlich Alternativkörper, Quasikörper und Ternärkörper.

Eigenschaften und Begriffe

Körpererweiterung

Hauptartikel: Körpererweiterung

Eine Teilmenge K eines Körpers L, die selbst mit dessen Operationen wieder einen Körper bildet, wird Unter- oder Teilkörper genannt. Das Paar K und L heißt Körpererweiterung K \subset L, L/K oder L|K. Beispielsweise ist der Körper der rationalen Zahlen \mathbb{Q} ein Teilkörper der reellen Zahlen \R.

Eine Teilmenge U eines Körpers K ist ein Teilkörper, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

Das algebraische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Körpererweiterungen beschäftigt, ist die Galoistheorie.

Beispiele

Endliche Körper

Hauptartikel: Endlicher Körper
+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O
· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge K endlich ist. Die endlichen Körper sind in folgendem Sinne vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau q = p^n Elemente mit einer Primzahl p und einer positiven natürlichen Zahl n. Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen q genau einen endlichen Körper, der mit \Bbb F_q bezeichnet wird. Jeder Körper \Bbb F_{p^n} hat die Charakteristik p. Als Beispiel werden hier die Additions- und Multiplikationstafeln des \Bbb F_4 gezeigt; farbig hervorgehoben dessen Unterkörper \Bbb F_2.

Im Spezialfall n=1 erhalten wir zu jeder Primzahl p den Körper \Bbb F_p, der isomorph zum Restklassenkörper \Z / p\Z ist.

Geschichte

Wesentliche Ergebnisse der Körpertheorie sind Évariste Galois und Ernst Steinitz zu verdanken.



Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.12. 2016