Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom („mehrnamig“, von griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“; diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklid) eine (endliche) Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen, die meist mit x bezeichnet wird. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen werden Potenzreihen genannt.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in x (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesem Begriff und dem eines Polynoms als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion auch als ganzrationale Funktion bezeichnet (rationale Funktion).

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Grad eines Polynoms, Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms, Polynomglied, Absolutglied, Binom; sowie Nullstellenschranke, Cauchy-Regel, Newton-Regel, gerade und ungerade Potenz.

Graph einer Polynomfunktion 5. Grades

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

Polynom von Grad 0, f(x) = 2
Polynom von Grad 1, f(x) =  2 - x / 2
Polynom von Grad 2, f(x) = x^2 - x - 2
Polynom von Grad 3, f(x) = \frac{(x+4)(x+1)(x-2)}{4}
Polynom von Grad 4, f(x) = \frac{(x+4)(x+1)(x-1)(x-3)}{14}+0{,}5

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion P der Form

P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n , \quad n \ge 0,

wobei als Definitionsbereich für die Variable x jede beliebige R-Algebra in Frage kommt, wenn R der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen.

 

Der Koeffizient a_0 heißt Absolutglied. a_1x wird als lineares Glied bezeichnet, a_2x^2 als quadratisches Glied und a_3x^3 als kubisches.

Einfaches Beispiel

Durch

P(x) = 9x^3 + x^2 + 7x - 3{,}8

ist eine Polynomfunktion dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3).

In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von x), die weiteren Koeffizienten lauten: 1, 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller Polynome

Polynome des Grades

Eigenschaften

P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dotsb + a_nx^n = \sum_{i=0}^{n}a_ix^i
ist das Polynom
\begin{align}
P'(x) &= a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dotsb + na_nx^{n-1}\\
& = \sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1} = \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}x^i\,.
\end{align}
Eine Stammfunktion ist gegeben durch
\begin{align}\int P(x)\,\mathrm dx &= a_0 x + \frac{1}{2}a_1 x^2 + \frac{1}{3}a_2 x^3 + \dotsb + \frac{1}{n+1}a_n x^{n+1} \\
&= \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{i+1}x^{i+1} = \sum_{i=1}^{n+1} \frac{a_{i-1}}{i}x^i\,.
\end{align}
(Wenn man die x-Achse als Zeitachse interpretiert, ergibt sich anschaulich folgendes Bild für diese Polynome: Entweder kommen sie von -\infty, schwanken evtl. ein bisschen (eine oder mehrere Nullstellen) und gehen dann Richtung +\infty, oder sie kommen umgekehrt von +\infty, schwanken evtl. etwas und gehen dann Richtung -\infty.)
(Wenn man die x-Achse als Zeitachse interpretiert, ergibt sich anschaulich folgendes Bild für diese Polynome: Entweder kommen sie von -\infty, schwanken ein bisschen (lokale Maxima, evtl. Nullstellen) und gehen dann wieder Richtung -\infty, oder sie kommen von +\infty, schwanken ein bisschen (lokale Minima) und gehen dann wieder Richtung +\infty.)

\deg(f+g) \le \max(\deg f, \deg g)
und für reelle Polynome oder allgemein für Polynome über einem Integritätsring

\deg(f\cdot g) = \deg f  + \deg g.
Für allgemeinere Ringe gilt auch in der letzten Beziehung lediglich \mathord\leq.

Nullstellen des Polynoms

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln oder Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert P(x) null ist, d.h., die die Gleichung P(x)=0 erfüllen. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Allgemeine Eigenschaften

Nullstellenschranken

Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad n lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Reelle Nullstellenschranken

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl B\in\R_+ heißt reelle Nullstellenschranke des reellen Polynoms f, wenn alle reellen Nullstellen von f im Intervall [-B,B] liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von f, wenn alle reellen Nullstellen von f kleiner oder gleich B sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome f = X^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i X^i, jedes Polynom kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge N=\left\{k\in\{0,1,\dotsc,n-1\}\mid a_k < 0\right\} der echt negativen Koeffizienten von f eine besondere Rolle, |N| bezeichnet deren Anzahl.

Komplexe Nullstellenschranken

Für komplexe Polynome f sind als Pendant zu den reellen Nullstellenschranken Kreise um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene üblich, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen des Polynoms auf der Kreisscheibe mit diesem Radius liegen. Eine Zahl B\in\R_+ heißt komplexe Nullstellenschranke des komplexen Polynoms f, wenn alle Nullstellen von f auf der Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius B liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich B ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynome ist:

Lösungsformeln

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen. Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula Falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren oder das Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.

Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und quartische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln, für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

f(x) = c_0 \cdot x^n + c_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb + c_1 \cdot x + c_0
d.h. für den i-ten Koeffizienten gilt  c_i = c_{n-i} \, ; anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der Substitution z = x+1/x (bzw. z=x-1/x) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist.
Setzen wir c als reell voraus, so sind die n Lösungen Vielfache der komplexen n-ten Einheitswurzeln:
 x_k = \sqrt[n]{\vert c \vert } \cdot \exp\left({2k\pi\mathrm{i}\over n}\right), \quad c < 0
 x_k = \sqrt[n]{c} \cdot \exp\left({(2k+1)\pi\mathrm{i}\over n}\right), \quad c \geq 0 ,
wobei k=0,\dotsc, n-1 durchläuft.
 f(x) = c_n \cdot x^n + c_{n-2} \cdot x^{n-2} + c_{n-4} \cdot x^{n-4} + \dotsb + c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 + c_0
Die Lösung erfolgt durch die Substitution  z = x^2 \, . Hat man eine Lösung für  z_1 gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für x abzuleiten sind:
 x_1 = \sqrt{z_1} und  x_2 = - \sqrt{z_1}
 f(x) = c_n \cdot x^n + c_{n-2} \cdot x^{n-2} + \dotsb + c_5 \cdot x^5 + c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x
Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch x aus und behandelt es dann wie ein Polynom (n-1)-ten Grades, welches nur gerade Potenzen von x enthält.

Polynome in der linearen Algebra

Polynome in der abstrakten Algebra

Hauptartikel: Polynomring

Definition

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes R[X]. Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes R durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element X. Damit enthält R[X] die Potenzen X^n, n\in\N und deren Linearkombinationen a_0+\sum\nolimits_{k=1}^n a_k X^k mit a_k\in R. Dies sind auch schon alle Elemente, d.h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,\dots)\in R\times R\times R\times\dots

seiner Koeffizienten charakterisiert.

Konstruktion

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings R[X] durch die Menge der endlichen Folgen in R\times R\times R\times\dots konstruiert werden. Dazu wird auf R[X] eine Addition+“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation\cdot“ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also a=(a_n)_{n\in \N_0} und b=(b_n)_{n\in \N_0}, so ist

a+b:=(a_n+b_n)_{n\in \N_0}

und

 a\cdot b:=\left(\sum_{i=0}^{n} a_ib_{n-i}\right)_{n\in \N_0}=\left(\sum_{i+j=n} a_ib_j\right)_{n\in \N_0},

R[X] mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Variablen) über R.

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge X:=(0,1,0,0,\dotsc), so dass X^2=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc), X^3=X^2\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc) etc, so kann jede Folge (a_0,a_1,a_2,\dotsc)\in R[X] wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

(a_0,a_1,a_2,\dotsc)
= a_0 + a_1\cdot X + a_2\cdot X^2 + \dotsb = a_0+\sum_{n\in\N_{>0}} a_n\cdot X^n.

Zusammenhang mit der analytischen Definition

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl n\in \N_0 existiert, so dass a_i=0 für alle i>n gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom f\in R[X] über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als f=a_0 + a_1\cdot X + \dotsb + a_n\cdot X^n. Dabei ist f jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes R[X]) und X ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge (0,1,0,0,\dotsc). Man kann jedoch f als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d.h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise R der Restklassenring \mathbb Z/3\mathbb Z=\{\bar0,\bar1,\bar2\}, so induzieren die Polynome f,g \in (\mathbb Z/3\mathbb Z)[X]

f=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X

und

das Nullpolynom g=0

beide die Nullabbildung 0\in \operatorname{Abb}\left(\mathbb Z/3\mathbb Z,\mathbb Z/3\mathbb Z\right), das heißt: f(x)=g(x)=\bar 0=0(x) für alle x\in\mathbb Z/3\mathbb Z.

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in R bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n} als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

P(X_1, \dotsc, X_n) = \sum_{i_1,\dotsc,i_n}a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}
Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Die Größe i_1+\dotsb+i_n heißt der Totalgrad eines Monoms X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades kann man mit folgender Formel berechnen:

\binom{n+k-1}{k},
Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei n die Anzahl der vorkommenden Variablen und k der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades 0 bis k, erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades folgende Formel:

\binom{n+k}{k}
Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Variablen nicht ändert.

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X_1, \dotsc, X_nüber dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als R[X_1, \dotsc, X_n].

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Lässt man auch negative Exponenten zu:

 f = \sum_{i=-N}^\infty a_i X^i
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a−i (mal) (Groß-) x hoch i“

dann erhält man formale Laurentreihen.



Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 12.03. 2017