Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Man kann also ihren Funktionsterm in folgende Form bringen:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}

mit einer natürlichen Zahl n und reellen Zahlen a_{n},a_{{n-1}},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}, wobei a_{n}\neq 0 sein muss (außer im Spezialfall, dass alle a_{i} gleich 0 sind, also die Nullfunktion f(x)=0 betrachtet wird). Ganzrationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen und enthalten ihrerseits als Spezialfälle beispielsweise die bekannten linearen Funktionen und quadratischen Funktionen.

Dieser Artikel beschäftigt sich hauptsächlich mit den in der Schulmathematik üblichen ganzrationalen Funktionen über den reellen Zahlen; weiterführende Informationen zu möglichen Verallgemeinerungen des Konzepts finden sich im Artikel Polynome.

Begriffe

Die Zahl n bestimmt den Grad der Funktion, die Zahlen a_{n},a_{{n-1}},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0} sind ihre Koeffizienten; der Koeffizient a_{n} wird oft als Leitkoeffizient bezeichnet. Der gesamte Funktionsterm ist ein Polynom.

Der Summand a_{0} heißt auch Absolutglied, die Summanden a_{1}x und a_{2}x^{2} werden manchmal als lineares bzw. quadratisches Glied bezeichnet.

Beispiele

f(x)=-2x(x-1)(x+3)^{2}=(-2x^{2}+2x)(x^{2}+6x+9)=-2x^{4}-10x^{3}-6x^{2}+18x,
der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind -2,-10,-6,18 und 0.

Spezialfälle

Allgemeine Eigenschaften

Die Berechnung von Funktionswerten, aber auch andere Rechnungen wie beispielsweise die Polynomdivision, kann mit dem Horner-Schema erleichtert werden.

Symmetrie

Beispiele:

Grenzverhalten

Allgemein wird das Verhalten für x\to \pm \infty durch den Summanden mit dem höchsten, das Verhalten für x\to 0 durch die Summanden mit den niedrigsten Exponenten bestimmt.

Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte

Alle ganzrationalen Funktionen divergieren für x\to \pm \infty . Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und welches Vorzeichen derLeitkoeffizient a_{n} hat; der Graph verhält sich dabei genauso wie der Graph einer Potenzfunktion mit dem Term g(x)=a_{n}x^{n}. Angegeben ist im Folgenden außerdem die daraus folgende Wertemenge {\mathbb  {W}} für den Fall, dass die Definitionsmenge {\mathbb  {D}}={\mathbb  {R}} ist.

  n gerade n ungerade
a_{n}>0 Der Graph verläuft von links oben nach rechts oben, also:
f(x)\to \infty für x\to \pm \infty
{\mathbb  {W}} ist nach unten beschränkt (durch das absolute Minimum der Funktion)
Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben, also:
f(x)\to -\infty für x\to -\infty und f(x)\to \infty für x\to \infty
{\mathbb  {W}}={\mathbb  {R}}
a_{n}<0 Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten, also:
f(x)\to -\infty für x\to \pm \infty
{\mathbb  {W}} ist nach oben beschränkt (durch das absolute Maximum der Funktion)
Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten, also:
f(x)\to \infty für x\to -\infty und f(x)\to -\infty für x\to \infty
{\mathbb  {W}}={\mathbb  {R}}

Verhalten für x-Werte nahe null

Alle ganzrationalen Funktionen sind für x\to 0 endlich. Genauer gilt: der Graph schneidet die y-Achse bei a_{0}, die Steigung an dieser Stelle ist durch a_{1} gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also immer die Gleichung y=a_{1}x+a_{0}

Beispiel

Der Graph der Funktion f\colon x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1 verläuft für x\to \pm \infty wie der Graph der Funktion g\colon x\mapsto -2x^{5}, also von links oben nach rechts unten (Grad n = 5 ungerade, Leitkoeffizient a_{5} = -2 < 0). Für die Funktionswerte gilt also: f(x)\to \infty für x\to -\infty und f(x)\to -\infty für x\to \infty . Für x\to 0 verläuft er dagegen wie der Graph von h(x)=-3x+1, er schneidet die y-Achse also bei 1 und hat dort die Steigung -3.

Nullstellen

Hauptartikel: Nullstelle

Linearfaktorzerlegung

Hauptartikel: Faktorisierung von Polynomen

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

f(x)=(x-x_{1})^{{k_{1}}}\cdot (x-x_{2})^{{k_{2}}}\dotsm (x-x_{m})^{{k_{m}}}\cdot g(x),

so sind x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m} die Nullstellen. Die natürlichen Zahlen k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m} heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

f\colon x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)

hat die dreifache Nullstelle x_{1}=0, die einfache Nullstelle x_{2}=2 und die doppelte/zweifache Nullstelle x_{3}=-3; die Faktoren -0{,}01 und x^{2}+1 können dagegen für kein x zu null werden, liefern also keine weiteren Nullstellen.

Die Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion kann man beispielsweise mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den komplexen Zahlen in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus linearen und quadratischen Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den Ableitungen der Funktion zusammen: x_{0} ist genau dann eine k-fache Nullstelle von f, wenn gilt {\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0} und {\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}.

Verlauf des Graphen bei den Nullstellen

graphische Veranschaulichung:

einfache Nullstelle drei-, fünf-, 2k+1-fache Nullstelle doppelte, vier-, 2k-fache Nullstelle
Einfache Nullstelle.jpg Dreifache Nullstelle.JPG Doppelte Nullstelle.jpg

Berücksichtigt man außerdem noch das Verhalten für x\to \pm \infty , so ergibt sich für das obige Beispiel f(x)=-0,01x^{3}(x-2)(x+3)^{2}(x^{2}+1) folgender Graph:

Beispielgraph

Methoden zur Berechnung der Nullstellen

Um Nullstellen zu bestimmen, muss die algebraische Gleichung f(x)=0 gelöst werden. Dafür gibt es (unter anderem) folgende Methoden:

Anzahl

Mit Hilfe der Polynomdivision kann man zeigen, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n Nullstellen haben kann (Vielfachheiten mitgezählt).

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für x\to \pm \infty , das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) und die Stetigkeit, so folgt außerdem: ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die gesamte Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) gerade bzw. ungerade. Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.

Außerdem gibt es noch andere, weiterführende Regeln für die Anzahl der Nullstellen wie beispielsweise die Vorzeichenregel von Descartes und die sturmsche Kette.

Ableitung und Stammfunktion

Ganzrationale Funktionen lassen sich mit Hilfe der Faktor-, Summen- und Potenzregel leicht ableiten.

Beispiel: für die Funktion mit dem Term

f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1

ergibt sich die Ableitungsfunktion mit dem Term

{\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'-(4x^{2})'+(5x)'-1'\\&=2(x^{3})'-4(x^{2})'+5(x^{1})'-1(x^{0})'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0\\&=6x^{2}-8x+5\end{aligned}}

Ebenso kann man mit Hilfe der entsprechenden Integral-Regeln leicht Stammfunktionen bestimmen; Beispiel:

\int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)dx={\frac  {1}{2}}x^{4}-{\frac  {4}{3}}x^{3}+{\frac  {5}{2}}x^{2}-x+c

Extremstellen

Zur Bestimmung der Extremstellen müssen zunächst die Stellen mit waagrechter Tangente, also die Nullstellen der ersten Ableitung, berechnet werden. Die erste Ableitung ist wieder eine ganzrationale Funktion, allerdings vom Grad n-1; es können also dieselben Methoden wie bei der Nullstellenberechnung benutzt werden.

Allgemeine Regeln

Anzahl

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n-1 Extremstellen haben kann.

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für x\to \pm \infty und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel), so folgt außerdem: ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die gesamte Anzahl der Extremstellen ungerade bzw. gerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von geradem Grad hat ein absolutes Minimum oder Maximum (je nachdem, ob der Leitkoeffizient a_{n} positiv oder negativ ist).

Wendestellen

Zur Bestimmung der Wendestellen müssen zunächst die Nullstellen der zweiten Ableitung, die sogenannten Flachstellen, berechnet werden. Die zweite Ableitung ist wieder eine ganzrationale Funktion, allerdings vom Grad n-2; es können also dieselben Methoden wie bei der Nullstellenberechnung benutzt werden.

Allgemeine Regeln

Anzahl

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n-2 Wendestellen haben kann.

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für x\to \pm \infty und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel), so folgt außerdem: ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die gesamte Anzahl der Wendestellen gerade bzw. ungerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad größer gleich drei hat mindestens eine Wendestelle.

Aufstellen von Funktionstermen

Oft ist ein Problem folgender Art zu lösen: Gegeben sind einige Punkte und evtl. zusätzliche Bedingungen (wie beispielsweise Steigungen in diesen Punkten), und es ist eine ganzrationale Funktion gesucht, deren Graph durch diese Punkte verläuft und ggf. die zusätzlichen Bedingungen erfüllt. Um diese ganzrationale Funktion zu finden, stellt man zunächst den Funktionsterm in der allgemeinst möglichen Form auf (der Grad ist entweder direkt gegeben oder muss aus den anderen gegebenen Angaben ermittelt werden), bildet evtl. notwendige Ableitungen der Funktion in dieser allgemeinen Form und setzt dann die gegebenen Bedingungen ein. Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Funktion; diese bezeichnet man statt a_{n}, a_{{n-1}} usw. hier meist mit a, b usw. Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man dann den Term der gesuchten Funktion.

Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und im Wendepunkt W(1|3) die Steigung 2 hat.

f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c
f'(x)=4ax^{3}+2bx
f''(x)=12ax^{2}+2b
3=a\cdot 1^{4}+b\cdot 1^{2}+c
2=4a\cdot 1^{3}+2b\cdot 1
0=12a\cdot 1^{2}+2b
a+b+c=3
4a+2b=2
12a+2b=0
f(x)=-0{,}25x^{4}+1{,}5x^{2}+1{,}75

Anwendungsbeispiele

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.01. 2020