Die Eigenschaft der Beschränktheit wird in verschiedenen Bereichen der
Mathematik einer Menge zugeordnet.
Die Menge wird dann als (nach unten oder oben) beschränkte Menge bezeichnet.
Damit ist zunächst gemeint, dass alle Elemente
der Menge bezüglich einer Ordnungsrelation
nicht unterhalb bzw. nicht oberhalb einer bestimmten Schranke liegen. Genauer
spricht man dann davon, dass die Menge bezüglich der Relation
(nach unten oder oben) beschränkt ist. Die Begriffe obere und untere
Schranke werden im Artikel Supremum
ausführlich beschrieben.
Viel häufiger wird der Begriff in einem übertragenen Sinn gebraucht. Dann
heißt eine Menge (nach oben) beschränkt, wenn eine Abstandsfunktion
zwischen ihren Elementen, die als Wertevorrat meist die nichtnegativen reellen
Zahlen hat, nur Werte nicht oberhalb einer bestimmten reellen Zahl annimmt. Hier
versteht sich die Beschränktheit nach unten (nämlich durch 0) meist von selbst,
daher wird hier einfach nur von einer beschränkten Menge gesprochen. Genauer
müsste man sagen: Die Menge ist bezüglich der Abstandsfunktion
(und der natürlichen Anordnung von deren Wertevorrat) beschränkt.
Daneben gibt es den Begriff einer (nach oben oder unten) beschränkten Funktion. Darunter ist eine Funktion zu verstehen, deren Bildmenge (als Teilmenge einer halbgeordneten Menge) die entsprechende Eigenschaft hat oder im übertragenen Sinn: Die Menge der Bilder der Funktion hat bezüglich einer Abstandsfunktion die entsprechende Beschränktheitseigenschaft.
Sei
eine durch die Relation
halbgeordnete
Menge und
eine Teilmenge von
.
Die Begriffe beschränkt und unbeschränkt, die so für eine halbgeordnete Menge definiert sind, werden nun im übertragenen Sinn auch für Mengen mit einer Abstandsfunktion verwendet, wenn die Werte, die diese Funktion annimmt, in der geordneten Bildmenge (meistens nichtnegative reelle Zahlen) die entsprechenden Schranken hat (bzw. nicht hat).
Sei
eine Menge und
eine Abstandsfunktion auf
,
eine beliebige Menge. Eine Funktion
heißt beschränkt (bezüglich der Abstandsfunktion
),
wenn die Menge
in
beschränkt ist, sonst unbeschränkt.
In der Analysis heißt eine Teilmenge
der reellen
Zahlen nach oben beschränkt, genau dann wenn es eine reelle Zahl
mit
für alle
aus
gibt. Jede solche Zahl
heißt obere Schranke von
.
Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog
definiert.
Die Menge
heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist.
Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall
liegt.
Daraus ergibt sich der Zusammenhang: Eine Teilmenge
der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl
gibt, so dass
für alle
aus
gilt. Man sagt dann,
läge in der offenen
Kugel (d.h. einem offenen Intervall) um 0 mit Radius
.
Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum
von ,
die größte untere Schranke das Infimum.
Eine Funktion
heißt beschränkt auf
,
wenn ihre Bildmenge
eine beschränkte Teilmenge von
ist.
Eine Teilmenge
der komplexen Zahlen heißt
beschränkt, wenn die Beträge jedes Elementes von
eine bestimmte Schranke
nicht überschreiten. Das heißt, die Menge
ist in der abgeschlossenen Kreisscheibe
enthalten. Eine komplexwertige
Funktion heißt beschränkt, wenn ihre Bildmenge beschränkt ist.
Ganz entsprechend wird der Begriff in den -dimensionalen
Vektorräumen
bzw.
definiert: Eine Teilmenge dieser Räume heißt beschränkt, wenn die Norm ihrer Elemente
eine gemeinsame Schranke nicht überschreitet. Diese Definition ist unabhängig
von der speziellen Norm, da alle Normen in endlichdimensionalen normierten
Räumen zum gleichen Beschränktheitsbegriff führen.
Eine Menge S aus einem metrischen
Raum (M, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit
endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r
> 0 existieren, so dass für alle s aus S gilt: .
Eine Teilmenge
eines topologischen
Vektorraums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Umgebung
von 0 ein
gibt, so dass
gilt.
Ist E ein lokalkonvexer
Raum, so ist dessen Topologie durch eine Menge
von Halbnormen gegeben. Die
Beschränktheit lässt sich dann wie folgt durch Halbnormen charakterisieren:
ist genau dann beschränkt, wenn
für alle Halbnormen
.
Sind
und
topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung
beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.
Sind
und
normierte Räume, so ist
diese Bedingung äquivalent dazu, dass eine Konstante
existiert, so dass
gilt. Die Menge dieser
ist nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, daher existiert das
Infimum dieser Menge – es ist identisch mit der Operatornorm von
.
Man kann zeigen, dass jeder beschränkte
lineare Operator zwischen normierten Räumen stetig
ist und umgekehrt.
Der Begriff gleichmäßige Beschränktheit wird nur auf Mengen von
Funktionen
angewandt, also Mengen von Funktionen mit derselben Definitionsmenge
und demselben Wertevorrat
.
Meist spricht man dann von Familien von Funktionen oder, falls die
Familie abzählbar unendlich ist, von einer Funktionenfolge.
Sei
eine beliebige Menge. Dann heißt eine Familie
von auf
definierten, reellwertigen
Funktionen gleichmäßig beschränkt, wenn es eine reelle Zahl
gibt, für die gilt:
.
Das heißt,
ist eine gemeinsame obere Schranke für die Werte der Beträge aller
Funktionen aus
.
Offensichtlich kann eine Familie von Funktionen höchstens dann gleichmäßig
beschränkt sein, wenn jede einzelne Funktion der Familie beschränkt ist. Für
jede einzelne Funktion
existiert daher die Supremumsnorm
.
Eine Familie von Funktionen ist nun genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie
als Menge von Funktionen bezüglich der Supremumsnorm beschränkt ist.
Dies wird auf vektorwertige
Funktionen verallgemeinert: Dabei ist
eine beliebige Menge,
ein reeller oder komplexer normierter
Raum mit der Norm
.
Man bezeichnet die Menge der auf
definierten Funktionen, die bezüglich der Norm in
beschränkt sind, als
und führt auf
mit
eine Norm ein, die
wiederum zu einem normierten Raum macht. Dann ist eine Familie von auf
definierten Funktionen genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie eine
Teilmenge von
ist und als Teilmenge von
beschränkt ist.
Eine Familie von Funktionen
auf einer Menge
deren Wertevorrat ein normierter Raum ist, heißt punktweise beschränkt,
wenn für jeden Punkt
die Menge
beschränkt ist.
ist also die Menge aller Werte, die an der Stelle
von irgendeiner Funktion der Familie angenommen werden.
Man beachte:
Alle Familien in den Beispielen sind als Funktionenfolgen
definiert. Die Familie ist hier immer
.