Taylorreihe

In der Analysis verwendet man die nach Brook Taylor benannte Taylorreihe, um eine glatte Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen. Die Reihe ist der Grenzwert der Taylor-Polynome und man nennt diese Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung.
Definition
Sei
ein offenes Intervall,
eine glatte
Funktion und
ein Element von
.
Dann heißt die unendliche
Reihe
die Taylorreihe von
mit Entwicklungsstelle
.
Hierbei bezeichnet
die Fakultät
von
und
die
-te
Ableitung
von
,
wobei man
setzt.
Die Reihe ist hier zunächst nur „formal“
zu verstehen, das heißt, es wird nicht vorausgesetzt, dass sie konvergiert. In der
Tat gibt es Taylorreihen, die nicht überall konvergieren (für
siehe obige Abbildung).
Im Spezialfall
wird die Taylorreihe auch Maclaurin-Reihe
genannt.
Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe
nennt man auch Linearisierung
von
an der Stelle
.
Allgemeiner nennt man die Partialsumme
die für festes
ein Polynom
in der Variablen
darstellt, das
-te
Taylorpolynom.
Die Taylorformel
mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion
abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten
Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes
Hilfsmittel der Analysis, der Numerik,
der Physik und der Ingenieurwissenschaften.
Eigenschaften
Die Taylorreihe
zur Funktion
ist eine Potenzreihe mit den
Ableitungen:
und somit durch vollständige Induktion
Übereinstimmung an der Entwicklungsstelle
Wegen
,
stimmt die Taylorreihe
sowie deren Ableitungen an der Entwicklungsstelle
mit der Funktion
bzw. deren Ableitungen überein:
Gleichheit mit der Funktion
Im Fall einer analytischen
Funktion
stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein, denn
und somit .
Wichtige Taylorreihen
Exponentialfunktionen und Logarithmen
Die natürliche Exponentialfunktion
wird auf ganz
durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 0 dargestellt:
.
Beim natürlichen
Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den
Konvergenzradius 1, d.h. für
wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt (vgl. Abb.
oben):
Da die folgende Reihe schneller konvergiert
,
ist sie geeigneter für praktische Anwendungen.
Wählt man
für ein
,
so ist
und
.
Trigonometrische Funktionen
.jpg)

Für die Entwicklungsstelle
(Maclaurin-Reihen)
gilt:
Hierbei ist
die
-te
Bernoulli-Zahl und
die
-te
Eulersche Zahlen.
Produkt von Taylorreihen
Die Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen
und
kann berechnet werden, wenn die Ableitungen dieser Funktionen an der identischen
Entwicklungsstelle
bekannt sind:
.
Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich dann
.
Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben
,
so ist
mit
Dies entspricht der Cauchy-Produktformel der beiden Potenzreihen.
Beispiel
Seien ,
und
.
Dann ist
und wir erhalten
in beiden Fällen also
und somit
.
Diese Taylorentwicklung wäre natürlich auch direkt über die Berechnungen der
Ableitungen von
möglich:
Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen
Dass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle
einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem
Konvergenzbereich mit
übereinstimmt, gilt nicht für beliebige unendlich oft differenzierbare
Funktionen. Aber auch in den folgenden Fällen nichtanalytischer Funktionen wird
die zugehörige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet.
Konvergenzradius 0
Die Funktion
ist auf ganz
beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in
ist
und somit nur für
konvergent (nämlich gegen bzw. gleich 1).
Eine Funktion, die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann
Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im
folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die
Entwicklungsstelle
mit der Ausgangsfunktion überein:
Als reelle Funktion ist
beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt
(insbesondere für
)
ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt
ist also die Nullfunktion,
und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit
überein. Daher ist
nicht analytisch. Die Taylorreihe um eine Entwicklungsstelle
konvergiert zwischen 0 und
gegen
.
Auch mit einer Laurentreihe
lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die
Funktion für
korrekt wiedergibt, für
nicht konstant 0 ergibt.
Mehrdimensionale Taylorreihe
Sei nun im Folgenden
eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion
mit Entwicklungsstelle
.
Dann lässt sich für beliebiges
die Funktionsauswertung
als
darstellen, wobei
Berechnet man nun von
die Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt
und wertet sie bei
aus, so erhält man die mehrdimensionale Taylorentwicklung von
:
Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und den Multiindex-Notationen
erhält man ferner:
Mit der Schreibweise
erhält man für die mehrdimensionale Taylorreihe bzgl. des Entwicklungspunktes
in Übereinstimmung zum eindimensionalen Fall, falls man die Multiindex-Notation verwendet.
Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus:
Beispiel
Zum Beispiel gilt nach dem Satz
von Schwarz für die Taylorreihe einer Funktion ,
die von
abhängt, an der Entwicklungsstelle
:



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 13.02. 2021