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Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die unendlich oft differenzierbar (insbesondere stetig) ist. Die Bezeichnung „glatt“ ist durch die Anschauung motiviert: Der Graph einer glatten Funktion hat keine „Ecken“, also Stellen, an der sie nicht differenzierbar ist. Damit wirkt der Graph überall „besonders glatt“. Zum Beispiel ist jede holomorphe Funktion auch eine glatte Funktion. Außerdem werden glatte Funktionen als Abschneidefunktionen oder als Testfunktionen für Distributionen verwendet.

Definition

Konventionen

Für eine nichtleere, offene Teilmenge D \subset \mathbb R bezeichnet man die Menge der reellwertigen und auf ganz D stetigen Funktionen mit C(D),\, C^0(D) oder mit C^0(D,\mathbb R). Entsprechend wird die Menge der einmal beziehungsweise für eine natürliche Zahl n die Menge der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit C^1(D) beziehungsweise mit C^n(D) bezeichnet. Die Menge der n-mal stetig differenzierbaren Funktion wird rekursiv durch

f \in C^n(D) \Leftrightarrow f\in C^1(D) \text{ und } f' \in C^{n-1}(D)

definiert. Es gilt stets

C^n(D)\subset C^{n-1}(D) \subset \dotsb \subset C^1(D) \subset C^0(D).

Glatte Funktionen

Eine Funktion f\colon D \to \mathbb R heißt unendlich oft differenzierbar oder glatt, wenn f \in C^n(D) für alle n \in \mathbb N gilt. Die Menge aller glatten Funktionen auf D wird mit C^\infty(D) notiert und es gilt

C^\infty(D) := \bigcap_{n \in \mathbb N} C^n(D).

Diese Beschreibung ist insbesondere für topologische Betrachtungen nützlich.

Verallgemeinerungen

Ohne Schwierigkeiten lässt sich der Begriff der glatten Funktion auf allgemeinere Fälle verallgemeinern. Es heißt eine Funktion f\colon \mathbb R^m \supset D \to \mathbb R^n ist unendlich oft differenzierbar beziehungsweise glatt, wenn alle partiellen Ableitungen unendlich oft differenzierbar sind. Auch werden glatte Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definiert und untersucht.

Eigenschaften

Beispiele

Anwendung

Diese beiden letzten Beispiele sind wichtige Hilfsmittel zur Konstruktion von Beispielen von glatten Funktionen mit besonderen Eigenschaften. Auf folgende Weise kann man eine glatte Zerlegung der Eins (hier: von \mathbb R) konstruieren:

k(x)=0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\leq -1,
k(x)=1 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\geq +1,
0<k(x)<1 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad -1<x<1.

Topologisierung

Sei D \subset \R^n eine offene Teilmenge. Auf dem Raum der glatten Funktionen f \colon D \to \R wird insbesondere in der Distributionentheorie eine Topologie erklärt. Die Familie von Halbnormen

 
f \in C^\infty(D) \mapsto \sum_{|\alpha| = m} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} f(x) \right|

mit m \in \mathbb{N} und K \subset D durchläuft alle Kompakta, macht den Raum der glatten Funktionen zu einem lokal-konvexen Raum. Dieser ist vollständig und damit ein Fréchet-Raum. Da außerdem jede abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, ist dies sogar ein Montel-Raum. Der Raum der glatten Funktionen C^\infty(D) zusammen mit dieser lokal-konvexen Topologie wird meist mit \mathcal{E}(D) bezeichnet.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 10.01. 2021