Gradient (Mathematik)
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Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.
In kartesischen
Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen
Ableitungen im Punkt ,
der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des
Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.
Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte
einer Landschaft als eine Funktion
die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von
an der Stelle
ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von
zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.
Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz
und Rotation
in der Vektoranalysis,
einem Teilgebiet der mehrdimensionalen
Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet,
und zwar mit dem Nabla-Operator
(um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden
kann, bisweilen auch
oder
).
Definition
Auf
sei das Skalarprodukt
gegeben. Der Gradient
der total differenzierbaren Funktion
im Punkt
ist der durch die Forderung
eindeutig bestimmte Vektor
Der Operator
ist das totale
Differential bzw. die Cartan-Ableitung.
Die Definition des Gradienten für Skalarfelder
lässt sich auf Vektorfelder
erweitern. Dieser verallgemeinerte Gradient wird als Vektorgradient
bezeichnet.
Koordinatendarstellung
Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.
Kartesische Koordinaten
Im
mit dem euklidischen Standardskalarprodukt
ist
der Spaltenvektor
Die Einträge
sind die partiellen
Ableitungen von
in
-Richtung.
Oft schreibt man bei kartesischen Koordinaten auch
(gesprochen „Nabla
“)
statt
.
In drei Dimensionen hat der Gradient somit die Darstellung
wobei ,
und
die Einheitsvektoren
in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen.
Rechenbeispiel
Gegeben sei ein Skalarfeld durch
Somit sind die partiellen Ableitungen
und
und es folgt >
oder in Vektordarstellung
Für den Punkt
lautet beispielsweise der Gradientvektor
.
Der Betrag ist
.
Zylinder- und Kugelkoordinaten
- Darstellung in dreidimensionalen Zylinderkoordinaten:
- Darstellung in dreidimensionalen Kugelkoordinaten:
Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.
Orthogonale Koordinaten
In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung
wobei die
den Betrag und
die Richtung des Vektors
angeben.
Allgemein krummlinige Koordinaten
In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung
worin
der Gradient der Koordinate
ist.
Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung
Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.
Ist
ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand
und dem Volumen
dann kann der Gradient des Skalarfelds
im Punkt
mittels der Volumenableitung durch
berechnet werden. Dabei bezeichnet
das äußere
vektorielle Flächenelement von
wobei
der nach außen zeigende Normalenvektor
und
das skalare Flächenelement ist.
Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet
auf den Punkt
zusammengezogen, sodass sein Inhalt
gegen null geht. Ersetzt man
durch einen Druck,
erscheint der Gradient als Kraftdichte.
Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn
man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als
Raumgebiet
wählt.
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Für eine glatte
Funktion
auf einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit
ist der Gradient von
dasjenige Vektorfeld
,
mit dem für jedes Vektorfeld
die Gleichung
gilt, wobei
das durch
definierte innere
Produkt von Tangentialvektoren
an
ist und
(oft auch
bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt
die Richtungsableitung
von
in Richtung
,
ausgewertet in
,
zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte
von einer offenen Teilmenge von
auf eine offene Teilmenge von
ist
gegeben durch:
wobei
die
-te
Komponente von
in diesen Koordinaten bedeutet.
In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form
Analog zum Fall
hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren
Ableitung vermittels
Genauer:
ist das der 1-Form
unter dem mittels der Metrik
definierten musikalischen
Isomorphismus („sharp“)
entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und
Gradienten für Funktionen auf dem
ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache
Metrik.
Geometrische Interpretation
Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein
Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Der
Gradient steht dabei senkrecht auf der Niveaufläche (Niveaumenge) des
Skalarfeldes in einem Punkt .
Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man
sich an einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt, so ist der
Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor,
vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes
liegt.
Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung, Richtungsableitung genannt, ermitteln, der – im Unterschied zum Gradienten – wieder ein Skalar ist.
Eigenschaften
Für alle Konstanten
und Skalarfelder
gilt:
Linearität
Produktregel
Zusammenhang zur Richtungsableitung
Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also
den Anstieg eines Skalarfeldes
in Richtung eines normierten Vektors
genauer:
Ist
in einer Umgebung von
differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von
mit dem Gradienten von
berechnen:
Integrabilitätsbedingung
Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder
in
Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem Satz von Schwarz)
immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle
und
:
Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der
Rotationsfreiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer
„Potentialfunktion“
(präziser: der Funktion
).
Die
bzw.
sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert
ferner, dass für alle geschlossenen Wege
im
das Linienintegral
verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.
Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung
für ein differenzierbares Vektorfeld
ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion
mit
(vgl. Totales
Differential). Unter geeigneten Voraussetzungen an
den Definitionsbereich von
(z. B. sternförmig) kann sogar auf
die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe
Poincaré-Lemma).
Nützliche Formeln
Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor
verwendet.
Man beachte, dass beim letzten Beispiel der Gradient nur auf
und nicht auf
wirkt. Er wird deshalb auch als
geschrieben.
Anwendungen
Konservative Kräfte
In der Physik lassen sich viele Kraftfelder als der Gradient eines Potentials darstellen. Beispiele dafür sind:
- a) die Gravitationskraft
- die für eine am Koordinatenursprung befindliche zentrale Masse M
- lautet,
- b) oder in der Elektrodynamik
statische elektrische Felder
In konservativen Kraftfeldern wird unter anderem ausgenutzt, dass für
Probemassen bzw. Probeladungen die Wegintegrale die Arbeit
entlang eines beliebigen Weges
durch das Kraftfeld nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von
seinem Verlauf abhängig ist.
Transportphänomene
Zahlreiche Transportphänomene lassen sich darauf zurückführen, dass sich die dazugehörigen Ströme als Gradient eines Skalarfeldes ausdrücken lassen, wobei der dabei auftretende Proportionalitätsfaktor als Transportkoeffizient oder Leitfähigkeit bezeichnet wird.
Ein Beispiel dafür ist der Wärmestrom
in der Thermodynamik,
für den
gilt, wobei
die Wärmeleitfähigkeit
ist.
In der Fluiddynamik versteht man unter einer Potentialströmung eine Strömung, bei die Geschwindigkeiten Gradient eines Potentials sind. Da die Divergenz eines Gradienten verschwindet, folgt dann aus der Kontinuitätsgleichung ein Erhaltungssatz.
Bildverarbeitung
Ein Problem in der Bildverarbeitung ist es, in einem Bild zusammenhängende Flächen zu erkennen. Da ein Bild diskrete Werte enthält, benutzt man Filter wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Ein Filter ist dabei eine Matrix, mit der das Bild gefaltet wird (siehe Diskrete Faltung). Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.
Weitere Anwendungen
- So wie Gauß-Newton-Verfahren zur Nullstellensuche von Funktionen verwendet wird, wird für mehrdimensionale Optimierungsprobleme in der Numerik das Gradientenverfahren eingesetzt.
- Ein Druckgradientenmikrofon nutzt die Druckdifferenzen zwischen räumlichen Punkten aus.
Literatur
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u.a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.04. 2022