Vektorgradient

Der Vektorgradient ist ein mathematischer Operator, der analog zu dem Gradienten von skalaren Größen, die Änderung einer vektorwertigen Größe in Abhängigkeit vom Ort beschreibt. Die Anwendung des Vektorgradienten auf ein Vektorfeld ergibt an jedem Ort einen Tensor zweiter Stufe, das Ergebnis lässt sich also als Matrix schreiben.

Der Vektorgradient wird definiert für euklidische Vektorräume mit Standardskalarprodukt (Frobenius-Skalarprodukt). Die Verallgemeinerung auf normierte Räume heißt Fréchet-Ableitung.

Definition

Ein Vektorfeld ${\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ist eine Abbildung, die jedem Ort in $\mathbb {R} ^{n}$ einen Vektor $\mathbb{R}^m$ zuordnet. Dabei sind $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb{R}^m$ jeweils euklidische Vektorräume mit Standardskalarprodukt „·“. Der Vektorgradient $\operatorname {grad}$ angewendet auf das Vektorfeld ${\vec {F}}$ ist definiert als

$\operatorname {grad} {\vec {F}}=({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}})^{\top }=({\vec {\nabla }}{\vec {F}})^{\top }\in \mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$

Dabei ist $\textstyle {\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$ der Nabla-Operator und die Verknüpfung „ $\otimes$ “ das Tensorprodukt (Dyadisches Produkt). Das hochgestellte „ $\scriptstyle \top$ “ steht für die Transposition und der Raum $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ enthält alle Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus dem $\mathbb {R} ^{n}$ in den $\mathbb{R}^m$ linear abbilden. Der Vektorgradient ist demnach das transponierte dyadische Produkt „ $\otimes$ “ des Nabla-Operators und eines Vektorfelds.

Mit dem Vektorgradient kann die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors ${\vec {h}}\in \mathbb {R} ^{n}$ berechnet werden:

$({\vec {h}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {F}}={\vec {h}}\cdot ({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}})=({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}})^{\top }\cdot {\vec {h}}=\operatorname {grad} ({\vec {F}})\cdot {\vec {h}}\,.$

In der Strömungsmechanik wird die linke Darstellung mit dem Nabla-Operator gegenüber der rechten bevorzugt, die in der Kontinuumsmechanik üblich ist. Die mithilfe des Vektorgradienten berechnete Richtungsableitung entspricht der Richtungsableitung, die man durch Grenzwertbildung bekommt:

$(\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\vec {F}}({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {{\vec {F}}({\vec {x}}+s{\vec {h}})-{\vec {F}}({\vec {x}})}{s}}\quad {\text{für alle}}\quad \;{\vec {x}},{\vec {h}}\in \mathbb {R} ^{n}\,.$

Seien die komponentenweisen Darstellungen

${\vec {x}}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\vec {a}}_{j}\quad {\text{und}}\quad {\vec {F}}({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}F_{i}({\vec {x}}){\vec {b}}_{i}$

bezüglich einer festen Orthonormalbasis $\{{\vec {a}}_{j}\}$ des $\mathbb {R} ^{n}$ und $\{{\vec {b}}_{i}\}$ des $\mathbb{R}^m$ gegeben. Dann berechnet sich der Gradient gemäß

$\operatorname {grad} {\vec {F}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} {\vec {F}}}{\mathrm {d} x_{j}}}\otimes {\vec {a}}_{j}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} x_{j}}}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j}$

Die Komponenten dieses Tensors stimmen mit denen der Jacobi-Matrix überein:

${\vec {b}}_{k}\cdot (\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot {\vec {a}}_{l}={\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{l}}}=(J_{\vec {F}})_{kl}\,.$

Der Vektorgradient wird u.a. in der Kontinuumsmechanik (z.B. in den Navier-Stokes-Gleichungen) benutzt.

In der Literatur wird gelegentlich auch $\operatorname {grad} {\vec {F}}:={\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}}$ definiert.

Totales Differential

Betrachte für ein Vektorfeld eine infinitesimale Verschiebung:

${\vec {F}}({\vec {r}}+\mathrm {d} {\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+J_{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}})+(\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}})+(\mathrm {d} {\vec {r}}\cdot \nabla ){\vec {F}}={\vec {F}}({\vec {r}})+\mathrm {d} {\vec {F}}$

Das vollständige oder totale Differential eines Vektorfeldes ${\vec {F}}({\vec {r}})$ ist:

$\mathrm {d} {\vec {F}}=(\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$ bzw. in Indexschreibweise $\mathrm {d} F_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\mathrm {d} x_{j}$

Das totale Differential eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit (formal) dieselbe Form. Beim totalen Differential eines Skalarfeldes wird der Gradient mit dem Differential skalar multipliziert. Beim totalen Differential eines Vektorfeldes ist die Multiplikation zwischen dem Gradient (Matrixform) mit dem Differentialvektor als Matrix-Vektor-Produkt durchzuführen.

Eigenschaften

Die Rechenregeln sind diejenigen der Jacobi-Matrix. $\operatorname {grad} {\vec {A}}$ bezeichnet hier den Vektorgradienten.

Für alle Konstanten $c\in \mathbb {R}$ und Vektorfelder ${\vec {A}},\,{\vec {B}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ gilt:

Linearität

$\operatorname {grad} (c\cdot {\vec {A}})=c\cdot \operatorname {grad} {\vec {A}}$

$\operatorname {grad} ({\vec {A}}+{\vec {B}})=\operatorname {grad} {\vec {A}}+\operatorname {grad} {\vec {B}}$

Produktregel

$({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}=(\operatorname {grad} {\vec {B}})\cdot {\vec {A}}$

$\operatorname {grad} ({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {B}}+(\operatorname {grad} {\vec {B}})^{T}\cdot {\vec {A}}$

$\operatorname {grad} ({\vec {A}}^{\,2})=2\,(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {A}}$

Speziell für Vektorfelder ${\vec {A}},\,{\vec {B}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ lassen sich obige Beziehung noch umformen:

$\operatorname {grad} ({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {B}}\cdot \nabla ){\vec {A}}+{\vec {B}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}+{\vec {A}}\times (\nabla \times {\vec {B}})$

$\operatorname {grad} ({\vec {A}}^{\,2})=2({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {A}}+2{\vec {A}}\times (\nabla \times {\vec {A}})$

Beispiele

$\operatorname {grad} {\vec {r}}=I,$ wobei die Einheitsmatrix ist.

$\left(\operatorname {grad} {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\right)^{T}=\nabla \otimes {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=\left(\nabla {\frac {1}{r^{3}}}\right)\otimes {\vec {r}}+{\frac {1}{r^{3}}}(\nabla \otimes {\vec {r}})=-{\frac {3}{r^{5}}}{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}+{\frac {1}{r^{3}}}I=-{\frac {1}{r^{5}}}(3{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}-r^{2}I)$

Die beiden letzten Formeln werden z.B. bei der kartesischen Multipolentwicklung verwendet.

Literatur

Hugo Sirk: Einführung in die Vektorrechnung: Für Naturwissenschaftler, Chemiker und Ingenieure. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-72313-6, Kap. 5.4 "Das Vektorfeld und der Vektorgradient".

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de