In der Mathematik fasst man häufig
mehrere Indizes
zu einem Multiindex zusammen. Verallgemeinert man Formeln von einer
Veränderlichen auf mehrere Veränderliche, zum Beispiel von Potenzreihen in einer
Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen, so ist es aus notationstechnischen
Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Formal gesehen
ist ein Multiindex
ein Tupel natürlicher
Zahlen.
In diesem Abschnitt seien
jeweils
-Tupel
natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die
folgenden Konventionen vereinbart:
wobei
und
einen Differentialoperator
bezeichnet.
Eine Mehrfachpotenzreihe
lässt sich kurz schreiben als
.
Ist
und sind
,
so gilt
und
.
Für
gilt
,
wobei
ist.
Sind
und ist
,
so gilt
bzw.
.
Für
und
ist
bzw.
,
was sich kurz schreiben lässt als
.
Ist
und sind
m-mal stetig
differenzierbare Funktionen, so gilt
beziehungsweise
Diese Identität heißt Leibniz-Regel.
Und sind
m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist
wobei
ist.
Für Mehrfachpotenzreihen
gilt
.
Sind
Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt
,
wobei
ist.
Für
gilt
.
Sind
und sind alle Komponenten von
betragsmäßig
,
so gilt
.
Ist
und sind
,
so gilt
.
Ist
und
,
so gilt
.
In mehreren Veränderlichen
lässt sich die cauchysche
Integralformel
kurz schreiben als
wobei
sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung
,
wobei
ist.
Ist
eine analytische
Funktion oder
eine holomorphe
Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe
entwickeln, wobei
ein Multiindex ist.
Für
mit
und
gilt
.
Dies verallgemeinert die Abelsche Identität .
Letztere erhält man im Fall .