Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe P(x) versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

$P(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

mit

einer beliebigen Folge $(a_n)_{n \in \mathbb N_0}$ von reellen oder komplexen Zahlen
dem Entwicklungspunkt der Potenzreihe.

Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie und erlauben oftmals eine sinnvolle Fortsetzung von reellen Funktionen in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des Konvergenzradius.

Konvergenzradius

→ Hauptartikel: Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x_0 ist die größte Zahl definiert, für welche die Potenzreihe für alle mit |x-x_0|<r konvergiert. Die offene Kugel U_r(x_0) mit Radius um x_0 nennt man Konvergenzkreis. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für x_0 , so ist der Konvergenzradius 0, dies wird manchmal auch nirgends konvergent genannt.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.$

In diesem Zusammenhang definiert man $\frac{1}{0}:= +\infty$ und $\frac{1}{\infty}:= 0$

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,$

sofern dieser Limes existiert.

Beispiele

Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe mit Konvergenzradius unendlich auffassen, wobei alle Koeffizienten a_n mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind auch Taylorreihen und die Maclaurinsche Reihe. Funktionen, die sich durch Potenzreihen darstellen lassen, werden auch Analytische Funktionen genannt. Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen:

Exponentialfunktion: $e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ für alle $x \in \mathbb{R}$ , d.h. der Konvergenzradius ist unendlich.

Sinus: $\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\cdots$

Kosinus: $\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\cdots$

Der Konvergenzradius ist sowohl für den Sinus als auch für den Kosinus unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der eulerschen Formel aus der Exponentialfunktion.

Logarithmusfunktion: $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \cdots$

für $-1 < x \leq 1$ , d.h. der Konvergenzradius ist 1. Für x=1

ist die Reihe konvergent, für x=-1

divergent.

Wurzelfunktion: $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 \mp \cdots$ für $-1 \leq x \leq 1$ , d.h. der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für als auch für .

Eigenschaften

Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises normal konvergent. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind. Des Weiteren liegt innerhalb des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe am Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt es aber der abelsche Grenzwertsatz, eine Aussage zu treffen.

Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt (Identitätssatz für Potenzreihen). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig existente Potenzreihendarstellung.

Operationen mit Potenzreihen

Addition und skalare Multiplikation

Sind und zwei Potenzreihen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$

mit dem Konvergenzradius und ist eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch f+g und wieder Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens und es gilt

$f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n$

$cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .$

Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt dann nach der Cauchy-Produktformel

$\begin{align} f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n \end{align}$

Die Folge $\textstyle c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ wird dabei als Faltung oder Konvolution der beiden Folgen (a_n) und (b_n) bezeichnet.

Verkettung

Sind und zwei Potenzreihen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_1)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$

mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft

Dann ist die Verkettung $f\circ g$ beider Funktionen lokal wieder eine analytische Funktion und somit um x_0 in eine Potenzreihe entwickelbar:

$(f\circ g)(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n$

Nach dem Satz von Taylor gilt:

$c_n = \frac{(f\circ g)^{(n)}(x_0)}{n!}$

Mit der Formel von Faà di Bruno kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da:

$\begin{align} f^{(n)}(g(x_0)) &= f^{(n)}(x_1) \\ &= n!\cdot a_n \\ g^{(m)}(x_0) &= m!\cdot b_m \end{align}$

Man erhält mit Multiindex-Schreibweise:

$\begin{align} c_n &=\frac{(f\circ g)^{(n)}(x_0)}{n!} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{f^{(|\boldsymbol{k}|)}(g(x_0))}{\boldsymbol{k}!} \prod_{\scriptstyle m=1\atop\scriptstyle k_m\ge1}^n \left(\frac{g^{(m)}(x_0)}{m!}\right)^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{|\boldsymbol{k}|! \cdot a_{|\boldsymbol{k}|}}{\boldsymbol{k}!} \prod_{\scriptstyle m=1\atop\scriptstyle k_m\ge1}^n \left(b_m\right)^{k_m}\\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} {{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}} \, a_{|\boldsymbol{k}|} \prod_{\scriptstyle m=1\atop\scriptstyle k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \end{align}$

Dabei ist ${{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}}$ der Multinomialkoeffizient zu $\boldsymbol{k}$ .

Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}$

Hierbei ist beliebig oft differenzierbar und es gilt:

$f^{(k)} (x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C$

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

Darstellung von Funktionen als Potenzreihen

Oftmals ist man zu einer gegebenen Funktion an eine Potenzreihendarstellung interessiert, insbesondere um die Frage zu beantworten, ob die Funktion analytisch ist. Es gibt einige Strategien, um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen. Die allgemeinste ist mittels der Taylorreihe. Hier tritt aber oft das Problem auf, dass man eine geschlossene Darstellung für die Ableitungen benötigt, welche oftmals schwer zu bestimmen ist. Für gebrochen rationale Funktionen gibt es jedoch einige leichtere Strategien. Als Beispiel soll die Funktion

$f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=\frac{z^2}{(1-z)(3-z)}$

betrachtet werden.

Mittels der geometrischen Reihe

Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der geometrischen Reihenformel erhält man folgende Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen

$f(z)=\frac{z^2}{(1-z)(3-z)}=\frac{z^2}{3}\cdot \frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}=\frac{z^2}{3}\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)= \frac{1}{3}\left(\sum_{n=2}^\infty z^n \right)\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)$

Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt z_0=0 und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die Cauchy-Produktformel

$f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

mit

$a_k= \begin{cases} 0 & k=0,1 \\ 1 & \text{sonst} \end{cases}$

und $b_k=\frac{1}{3^k}$

Daraus folgt durch Anwendung der geometrischen Summe

$\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}= \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{3}\right)^{n-k}=\frac{1}{3^{n-2}}\sum_{k=0}^{n-2} 3^k= -\frac{1-3^{n-1}}{2 \cdot 3^{n-2}}$

als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch

$f(z)= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2} \cdot \left(1-\frac{1}{3^{n-1}} \right) z^n$ .

Durch Koeffizientenvergleich

Oftmals ist der Weg über die geometrische Reihe umständlich und fehleranfällig. Deshalb bietet sich folgender Ansatz an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung der Funktion mit unbekannter Koeffizientenfolge $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ existiert

$f(z)= \frac{z^2}{z^2-4z+3}= \sum_{n=0}^\infty b_n z^n$

Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identität

$z^2= (z^2-4z+3)\sum_{n=0}^\infty b_n z^n= \sum_{n=2}^\infty b_{n-2} z^n + \sum_{n=1}^\infty -4b_{n-1} z^n + \sum_{n=0}^\infty 3b_n z^n= 3b_0+z(3b_1-4b_0) + \sum_{n=2}^\infty (b_{n-2} -4 b_{n-1} +3 b_n)z^n$

Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen identisch sind, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich $b_0=0 , b_1=0 , b_2=\frac{1}{3}$ sowie die Rekursionsgleichung $b_n=\frac{4b_{n-1} -b_{n-2}}{3}$ , aus welcher mittels vollständiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt.

Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleich hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als z_0=0 möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt z_1=-1 . Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in (z-z_1)=(z+1) dargestellt werden:

$f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=\frac{(z+1)^2-2(z+1)+1}{(z+1)^2 - 6(z+1)+8}$

Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch:

$(z+1)^2-2(z+1)+1=((z+1)^2 - 6(z+1)+8)\sum_{n=0}^\infty b_n (z+1)^n= 8b_0+(z+1)(8b_1-6b_0) + \sum_{n=2}^\infty (b_{n-2}-6b_{n-1}+8b_n)(z+1)^n$ .

Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleich $b_0=\frac{1}{8} , b_1=\frac-{10}{8} , b_2=\frac{8-61}{8}$ und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten

$b_n=\frac{-b_{n-2}+6b_{n-1}}{8}$ .

Durch Partialbruchzerlegung

Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst die Polynomdivision und dann die Partialbruchzerlegung an, so erhält man die Darstellung

$f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=1+\frac{4z-3}{(z-1)(z-3)}= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-z} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}$ .

Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich

$f(z)=1+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty z^n - \frac{3}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}z^n = 1+\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2} \cdot\left( 1- \frac{1}{3^{n-1}} \right) z^n$ .

Die ersten drei Folgenglieder der Koeffizientenfolge sind alle null und damit stimmt die hier gegebene Darstellung mit der oberen überein.

Verallgemeinerungen

Potenzreihen lassen sich nicht nur für $x \in \mathbb{R}$ definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z.B. das Matrixexponential und der Matrixlogarithmus Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der quadratischen Matrizen. Betrachtet man auch negative Exponenten, so spricht man von einer Laurent-Reihe. Erlaubt man den Exponenten auch gebrochene Werte anzunehmen, handelt es sich um eine Puiseauxreihe.

Formale Potenzreihen werden beispielsweise als erzeugende Funktionen in der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie (etwa als wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen) verwendet. In der Algebra werden formale Potenzreihen über allgemeinen kommutativen Ringen untersucht.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de