Website durchsuchen

Maclaurinsche Reihe

Die Maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle x_{0}=0:

f(x)=\sum _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac  {f^{{(j)}}(0)}{j!}}x^{j}=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac  {1}{2}}f''(0)\cdot x^{2}+\dots

Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die Maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:

f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac  {f''(0)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac  {f^{{(n)}}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}

mit dem Restglied

R_{n}={\frac  {x^{{n+1}}}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(\theta x)\,\,\,\,\,\,\,0<\theta <1

oder alternativ

R_{n}={\frac  {1}{n!}}\int \limits _{{0}}^{x}(x-t)^{n}f^{{(n+1)}}(t){\mathrm  {d}}t.

Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes R_{n} oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich f(x) ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion f(x)=\exp(-1/x^{2}) mit der Bedingung f(0)=0: die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist f(x)\not =0 für x\not =0.

Für Funktionen, die bei x=0 nicht definiert sind - z.B. f(x)={\frac  {1}{x}}, oder die bei x=0 zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind - z.B. f(x)=x{\sqrt  {x}}, lässt sich ebenfalls keine Maclaurinsche Reihe entwickeln.

Beispiele

\sin(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac  {x^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}={\frac  {x}{1!}}-{\frac  {x^{3}}{3!}}+{\frac  {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac  {x^{3}}{6}}+{\frac  {x^{5}}{120}}-\ldots
e^{x}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac  {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac  {x^{2}}{2!}}+{\frac  {x^{3}}{3!}}+{\frac  {x^{4}}{4!}}+\dots =1+x+{\frac  {1}{2}}x^{2}+{\frac  {1}{6}}x^{3}+{\frac  {1}{24}}x^{4}+\dots

Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin-Reihen

Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle x_{0}\neq 0, kann als Maclaurinreihe aufgefasst werden. Dazu wird statt der Taylorreihe zu f(x) die Taylorreihe zu f(x_{0}+x) betrachtet (Substitution):

f(x_{0}+x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac  {f^{{(n)}}(x_{0})}{n!}}[(x_{0}+x)-x_{0}]^{n}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac  {f^{{(n)}}(x_{0})}{n!}}x^{n}.

Durch die Verschiebung um -x_{0} "zur Seite" ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0, wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion \ln(x) um die Entwicklungsstelle 1, nämlich

\ln(x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {(-1)^{{n-1}}}{n}}(x-1)^{n},

entspricht der Maclaurin-Reihe zu \ln(x+1).

\ln(x+1)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {(-1)^{{n-1}}}{n}}x^{n}=x-{\frac  {x^{2}}{2}}+{\frac  {x^{3}}{3}}-{\frac  {x^{4}}{4}}+\cdots .
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 30.08. 2017