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Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge \,E_{n} ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

\operatorname {sech}(x)={\frac  {1}{\cosh(x)}}={\frac  {2}{e^{x}+e^{{-x}}}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}E_{n}{\frac  {x^{n}}{n!}}

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen E_{n} ≠ 0 lauten

n E_{n}
0 1
2 −1
4 5
6 −61
8 1385
10 −50521
12 2702765
14 −199360981
16 19391512145
18 −2404879675441
20 370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E0 bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren (-1)^{n}E_{{2n}} entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

E_{{2n}}\sim (-1)^{n}\,8\,{\sqrt  {{\frac  {n}{\pi }}}}\left({\frac  {4n}{\pi e}}\right)^{{2n}}=(-1)^{n}{\frac  {{\sqrt  e}}{2}}\left({\frac  {4n}{\pi e}}\right)^{{2n+{\frac  12}}}

oder präziser

{\frac  {E_{{2n}}}{(2n)!}}\sim 2\,(-1)^{n}\left({\frac  {2}{\pi }}\right)^{{2n+1}}

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert E_{0}=1 lautet

\forall \,n\in \mathbb{N} \colon \quad (E+1)^{n}+(E-1)^{n}=0

wobei E^{n} als E_{n} zu interpretieren ist und woraus

\forall \,n\in \mathbb{N} \colon \quad \sum _{{k=0}}^{n}\left(1+(-1)^{{n-k}}\right){n \choose k}E_{{k}}=0

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

\forall \,n\in \mathbb{N} \colon \quad E_{n}=-\sum _{{k=1}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{n \choose 2k}E_{{n-2k}}

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt

\forall \,n\in \mathbb{N} _{0}\colon \quad E_{{2n}}={\frac  {(2n)!\,2^{{2n+2}}}{(-1)^{n}\pi ^{{2n+1}}}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac  {(-1)^{k}}{(2k+1)^{{2n+1}}}}={\frac  {(2n)!\,2}{(-1)^{n}(2\pi )^{{2n+1}}}}\left(\zeta (2n+1,{\tfrac  14})-\zeta (2n+1,{\tfrac  34})\right)

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion \zeta falls n\not =0 ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

E_{{2n}}=4^{{2n+1}}\zeta (-2n,{\tfrac  14})

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

E_{{2n}}=-4^{{2n+1}}{\frac  {B_{{2n+1}}({\tfrac  14})}{2n+1}}

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-PolynomenB_{n}(x) und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

E_{{2n}}={\frac  {(-1)^{n}4^{{n+1}}(2n)!}{\pi ^{{2n+1}}}}\cdot \beta (2n+1),

wobei \beta (s) die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome {\text{E}}_{n}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

{\frac  {2e^{{xt}}}{e^{t}+1}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\text{E}}_{n}(x){\frac  {t^{n}}{n!}}

implizit definiert. Die ersten lauten

{\text{E}}_{0}(x)=1
{\text{E}}_{1}(x)=x-{\tfrac  12}
{\text{E}}_{2}(x)=x^{2}-x=x(x-1)
{\text{E}}_{3}(x)=x^{3}-{\tfrac  32}x^{2}+{\tfrac  14}={\tfrac  14}(2x-1)(2x^{2}-2x-1)
{\text{E}}_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)
{\text{E}}_{5}(x)=x^{5}-{\tfrac  52}x^{4}+{\tfrac  52}x^{2}-{\tfrac  12}={\tfrac  12}(2x-1)(x^{2}-x-1)^{2}
{\text{E}}_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)

Man kann sie aber auch zu {\text{E}}_{0}(x)=1 und dann für n\in \mathbb {N} über die Gleichung

{\text{E}}_{n}(x)=\int _{c}^{x}n{\text{E}}_{{n-1}}(t)\,{\text{d}}t

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze c für ungerades n 1/2 ist und für gerades n Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um {\tfrac  12}, d.h.

{\text{E}}_{n}({\tfrac  12}+x)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}({\tfrac  12}-x)\qquad {bzw.}\qquad {\text{E}}_{n}(x+1)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}(-x)

und ihre Funktionswerte an den Stellen {\tfrac  12} und {\displaystyle 0} der Beziehung

{\text{E}}_{n}({\tfrac  12})=2^{{-n}}E_{{n}}

und

{\text{E}}_{{n-1}}(0)=(2^{{n+1}}-2){\frac  {B_{{n}}}{n}}

genügen, wobei B_{n} die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

{\text{E}}_{n}(x+1)+{\text{E}}_{n}(x)=2x^{n}

Das Eulersche Polynom {\text{E}}_{n} hat für n > 5 weniger als n reelle Nullstellen. So hat zwar {\text{E}}_{5} fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon {\text{E}}_{6} nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei R(n)=\{x\in \mathbb{R} \colon {\text{E}}_{n}(x)=0\} die Nullstellenmenge. Dann ist

-{\tfrac  12}|R(n)|+1\leq \min R(n)\leq \max R(n)\leq {\tfrac  12}|R(n)|

– wobei im Fall n=5 die Anzahl |R(5)| als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|R(n)|}{n}}={\frac {2}{\pi e}}\approx 0{,}2342}

wobei die Funktion |\cdot | angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen E_{n} tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

\sec(x)={\frac  {1}{\cos(x)}}={\frac  {1}{\cosh({\mathrm  {i}}\,x)}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}(-1)^{n}E_{n}{\frac  {x^{n}}{n!}}

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen B_{n} was man auch an der Darstellung

\operatorname {csch}(x)={\frac  {1}{\sinh(x)}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }(2-2^{n})B_{n}{\frac  {x^{{n-1}}}{n!}}

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei {\tfrac {\pi }{2}} – von {\tfrac {\pi }{2}}> folgt aus dem Wurzelkriterium das \limsup \log |{\tfrac  {E_{n}}{n!}}|\sim n\log \left({\tfrac  2\pi }\right) asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac  {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac  {\pi }{2}}\right)^{{n+1}}.

Permutationen

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte a_{1},a_{2},\ldots ,a_{{2n}}, so dass diese Permutation kein Tripel a_{{j-1}},a_{j},a_{{j+1}} mit 1<j<2n enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl A_{{2n}} der alternierenden Permutationen von 2n Elementen (die vergleichbar sind)

A_{{2n}}=2|E_{{2n}}|,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl n\in \mathbb{N} _{0} gilt

A_{n}=2\,n!\,\alpha _{n}

mit \alpha _{0}=\alpha _{1}=1 und

\alpha _{n}={\frac  1{2n}}\sum _{{j=0}}^{{n-1}}\alpha _{j}\alpha _{{n-1-j}}

für n\geq 2, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der E_{2n} erhält. Für ungeradesn werden die Werte {\tfrac  {A_{n}}2} auch Tangentenzahlen genannt.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 24.08. 2020