Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

$ax^2+bx+c=0\quad$

mit $a\neq 0$ schreiben lässt. Hierbei sind a, b, c Koeffizienten; ist die Unbekannte. Ist b=0 , spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Term einer quadratische Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), f(x)=ax^2+bx+c ; der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung f(x)=0 die Nullstellen dieser Parabel.

Allgemeine Form und Normalform

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

$ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0).$

Dabei heißt ax^2 quadratisches Glied, lineares Glied und konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung.

Die Gleichung ist in Normalform, wenn a = 1 , also wenn das quadratische Glied den Koeffizient 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch $a \neq 0$ dividiert wird. Mit der Definition

$p= \frac{b}{a}$ und $\displaystyle q = \frac{c}{a}$

lässt sich die Normalform somit schreiben als

$x^2 + px + q = 0 \,.$

Im Folgenden werden zunächst quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen als Koeffizienten , und bzw. als und betrachtet.

Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Anzahl der reellen Nullstellen

Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. Im allgemeinen Fall ist D = b^2-4ac , im normierten Fall ist D = p^2 - 4q (zur Herleitung siehe unten):

Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante:

(A) Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der -Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen und .
(B) Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der -Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form $ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1)^2 = 0$ bringen.
(C) Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der -Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Einfache Spezialfälle

Ist der Koeffizient des linearen Gliedes b = 0 oder das absolute Glied c = 0 , so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.

Fehlendes lineares Glied

Die reinquadratische Gleichung ax^2+c=0 mit $a \neq 0$ ist äquivalent zu

$x^2 = -\frac{c}{a}\,.$

Die Lösungen lauten

$x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\,.$

Im reellen Fall existieren für $\tfrac{c}{a} > 0$ keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen sind dann

$x_{1,2}=\pm \mathrm{i}\sqrt{\frac{c}{a}}.$

Zum Beispiel hat die Gleichung x^2-3=0 die Lösungen $x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$ . Die Gleichung 2x^2+8=0 hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten $x_{1,2}=\pm 2\mathrm{i}$ .

Fehlendes konstantes Glied

Aus der Gleichung ax^2 + bx = 0 ergibt sich durch Ausklammern x(ax+b) = 0 , d.h., es muss x = 0 oder ax+b=0 gelten. Die beiden Lösungen lauten also

und $x_2 = -\tfrac{b}{a}\,.$

Zum Beispiel hat die Gleichung 3x^2 - 2x = 0 die Lösungen x_1 = 0 und $x_2 = \tfrac{2}{3}$ .

Allgemeine Lösungsformeln

Zum Lösen quadratischer Gleichungen kann man die quadratische Ergänzung nutzen. Oft ist es einfacher, stattdessen eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Formeln zu verwenden:

Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (a-b-c-Formel)

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung lauten:

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Die Formel wird in Teilen Deutschlands umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie auswendig kennen sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt. In Österreich ist der Ausdruck große Auflösungsformel gebräuchlich.

Wenn man die Gleichung in der Form

$ax^2 + 2 \beta x + c = 0$

angibt, (d.h. mit $\beta = b/2$ ) erhält man die etwas einfachere Lösungsformel

$x_{1,2} = \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-ac}}{a}$

Lösung der a-b-c-Formel bei negativer Diskriminante

Ist die oben eingeführte Diskriminante D = b^2 - 4ac negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt $\sqrt{D}=i\sqrt{-D}$ . Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Resultate, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit $- \tfrac{b}{2a}$ wird zum konstanten Realteil der beiden Resultate:

$x_{1,2} = - \frac{b}{2a} \pm i \cdot \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ (komplexer Fall bei negativer Diskriminante).

Herleitung der a-b-c-Formel

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

$\begin{array}{rcll} ax^2+bx+c & = & 0 &| -c\\[1ex] ax^2+bx & = & -c&|{}\cdot 4a\\[1ex] 4a^2x^2+4abx & = & -4ac&| +b^2 \text{ (quadratische Ergänzung)}\\[1ex] (2ax)^2+2\cdot 2ax\,b + b^2 & = & b^2-4ac &|\text{ Umformen mit binomischer Formel}\\[1ex] (2ax+b)^2 & = & b^2-4ac &| \pm \sqrt{\quad}\\[1ex] 2ax+b & = & \pm\sqrt{b^2-4ac} &|-b\\[1ex] 2ax & = & -b \pm\sqrt{b^2-4ac} &|:(2a)\\[1ex] x & = & \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \end{array}$

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel)

Bei Vorliegen der Normalform $x^2+px+q=0 \quad$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

$x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q}\,.$

In Österreich ist die Formel als kleine Auflösungsformel bekannt.

Lösung der p-q-Formel bei negativer Diskriminante

Analog zur a-b-c-Formel gibt es, wenn die Diskriminante D = p^2 - 4q negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. Für die komplexen Zahlen ergeben sich die Lösungen zu:

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt{q - \left(\frac{p}2\right)^2}$

Herleitung der p-q-Formel

Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

$\begin{array}{rcll} x^2+px+q & = & 0 &|-q\\[1ex] x^2+px & = & -q&|+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 \text{ (quadratische Ergänzung)}\\[1ex] x^2+2 \cdot \frac p2 x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 & = & \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q&|\text{ binomische Formel}\\[1ex] \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2 & = & \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q&|\pm \sqrt{\ }\\[1ex] x+\dfrac{p}{2} & = & \pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&|-\dfrac{p}{2}\\[1ex] x & = & -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \end{array}$

Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel a = 1 , b = p und c = q setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht.

Zerlegung in Linearfaktoren

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

$x^2 + px + q = ( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )$

und das nicht normierte in

$ax^2 + bx + c = a\cdot( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )$

Satz von Vieta

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen x_1 und x_2 , so gilt

$0=x^2+px+q=( x -x_1 ) \cdot ( x - x_2 ) = x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 x_2$ .

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

$\, x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$ .

Insbesondere wenn und ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von als Summe ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für x^2 + 4x + 3 = 0 die Lösungen x_1 = -1 und x_2 = -3 durch die Zerlegung 3 = (-1)(-3) mit (-1) + (-3) = -4 .

Numerische Berechnung

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

$x_1 = - \frac{p}{2} - \sgn(p) \cdot \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$

$x_2 = \frac{q}{x_1}$

Hierbei hat $\sgn(p)$ den Wert für p < 0 und sonst den Wert . Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

Beispiel

Für die Gleichung

ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel:

$x_{1,2} = \frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4 \cdot 4 \cdot (-40)}}{2 \cdot 4},$

also x_1 = -2 und x_2 = 5 .

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen

$x_{1,2} = - \frac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 - (-10)},$

also somit ebenfalls x_1 = -2 und x_2 = 5 .

Mit Hilfe der Zerlegungen $-10 = (-2) \cdot 5$ und 5 - 2 = 3 erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

Weitere Beispiele
$x^2 + 2x - 35 = 0\$	Für die Diskriminante gilt: . Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen $x_{1}= -7$ und $x_{2}= 5$
$x^2 - 4x + 4 = 0\$	Die Diskriminante ist . Die (doppelte) reelle Lösung ist .
$x^2 + 12x + 37 = 0\$	Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu $x_{1}= -6+i$ und $x_{2}= -6-i$ .

Verallgemeinerungen

Komplexe Koeffizienten

Die quadratische Gleichung

mit komplexen Koeffizienten $a, b, c \in \C$ , $a \neq 0$ hat stets zwei komplexe Lösungen $z_1, z_2 \in \C$ , die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante b^2-4ac gleich null ist.

Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden.

Beispiel

Für die quadratische Gleichung

$z^2-(\mathrm i+1)z+\mathrm i = 0\$

hat die Diskriminante den Wert $D=-2 \mathrm i=(\mathrm i-1)^2$ . Es ergeben sich die beiden Lösungen z_1 = 1 und $z_2 = \mathrm i$ .

Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben.

Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der pq-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper $\mathbb F_{2^n}\cong \mathbb F_2(\varrho)$ der Charakteristik 2 macht man den Ansatz $x = \textstyle\sum_{i=0}^{n-1} a_i \varrho^i$ und gelangt mittels $x^2 = \textstyle\sum_{i=0}^{n-1} a_i \varrho^{2i}$ zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten a_i aus $\mathbb F_2$ .

Beispiel

Die quadratische Gleichung

hat im Restklassenring $\Z/8\Z$ die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.

Geschichte

Bereits vor 4000 Jahren im Altbabylonischen Reich wurden quadratische Gleichungen gelöst, beispielsweise auf folgende Art: Die quadratische Gleichung x^2 + p = sx ist äquivalent dem Gleichungssystem xy = p und x+y = s . Für x wird nun der Ansatz $x = \tfrac{s}{2}+e$ bzw. $y = \tfrac{s}{2}-e$ gemacht. Für das Produkt ergibt sich

$p = xy = \left(\frac{s}{2}+e\right)\cdot\left(\frac{s}{2}-e\right) = \left(\frac{s}{2}\right)^2 - e^2$ .

Auflösen der binomischen Formel liefert

$e = \sqrt{\frac{1}{4}s^2 - p}$ .

Mit ist damit auch die Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt. Als Beispiel wird die Gleichung x^2 + 210 = 29x besprochen. Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem p = xy = 210 und s = x+y = 29 . Der oben genannte Ansatz liefert

$e = \sqrt{\frac{1}{4}s^2 - 210} = \frac{1}{2}.$

Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich

$x = \frac{s}{2}+e = \frac{29}{2} + \frac{1}{2} = 15$ .

Die Griechen kannten keine negative Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. Gleichungen der Art

werden bei Euklid (Euklids Elemente II 11) geometrisch gelöst; die Formen

bzw.

in Euklid (VI 28) bzw. (VI 29).

geometrische Lösung der Gleichung

nach Euklid

Als Beispiel soll die Gleichung, wie sie bei al-Chwarizmi auftritt

als Spezialfall von x^2 + bx = c mit b,c > 0 geometrisch gelöst werden (siehe Bild). Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge (und somit der Fläche x^2 ) und zwei Rechtecke DEHG und BCFE mit den Seiten und (und somit jeweils der Fläche ) auf. Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. Dieses Gnomon hat nach Voraussetzung eine Fläche von x^2 + 10x = 39 . Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge (und somit der Fläche ) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche 39 + 25 = 64 . Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge 5+x und somit den Flächeninhalt (5+x)^2 . Wegen 64=8^2 schließt man 5+x=8 und somit x=3 . Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu (x+5)^2 = 64 mit der (positiven) Lösung x=3 . Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung x=-13 erhält.

geometrische Lösung der Gleichung

nach Brahmagupta

Bei Aryabhata und Brahmagupta wird die Lösung der Gleichung

mit Worten beschrieben. Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats:

$x^2+4x\frac{p}{4}+4\left(\frac{p}{4}\right)^2 = q+\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2$ .

Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als

$x = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2+q}-\frac{p}{2}$ .

Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von

verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als

$x = \frac{\sqrt{ac+\left(\frac{b}{2}\right)^2} -\frac{b}{2}}{a}$ .

Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach.

Allgemeine Lösungsformeln, wie die heute übliche

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

für die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form

entstanden erst zu Beginn des 16. Jahrhunderts, als negative Zahlen als Lösung akzeptiert waren und das Wurzelzeichen erfunden war (durch Christoph Rudolff 1525 in seiner Algebra). Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde.

Im Jahr 1637 beschrieb René Descartes in seiner Schrift La Géométrie eine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. Er zeigte weiter, dass Gleichungen höheren Grades im Allgemeinen nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal gelöst werden können.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de