Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.

So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.

Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat dagegen überraschend viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

Die Funktion, die einer natürlichen Zahl n die Anzahl ihrer Teiler zuordnet, ist eine zahlentheoretische Funktion (die Teileranzahlfunktion). In der Zahlentheorie ist der Begriff Teilbarkeit auf natürliche Zahlen beschränkt.

In der Algebra dagegen wird der Begriff Teilbarkeit auf Integritätsringe, kommutative Ringe und nicht-kommutative Ringe erweitert.

Formale Definition

Eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es eine ganze Zahl n gibt, für die a ⋅ n = b ist. Man sagt dann „a ist Teiler von b“, „b ist teilbar durch a“, oder „b ist Vielfaches von a“ und schreibt formal:

a \mid b.

Folgerungen

Da 0\cdot n = 0 für alle n gilt, ist 0 ein Teiler von 0 und von keiner anderen Zahl.

Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form a\cdot 0 = 0, so erkennt man, dass jede Zahl a ein Teiler von 0 ist.

Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. die Multiplikation mit 1 ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen e=\pm 1 gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element e' \; (=e) mit e \cdot e'= 1. Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings \Z der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen \pm 1. (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte a \mid b und b \neq 0. Ist a keiner der trivialen Teiler \pm 1, \pm b, so nennt man a einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von b. Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie  >1 ist, Primzahl. Ist a eine Primzahl, so heißt a Primteiler oder Primfaktor von b.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl n nennt man die „Teilermenge von n“. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von n“.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen \Z ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Eigenschaften der Teilbarkeit

Seien a, b, c und d ganze Zahlen.

  Die natürlichen Zahlen \N_0 sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die 0 (0 wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Siehe auch: Dezimalsystem

Zweier-Potenzen

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl n zu überprüfen, verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch 75 = 3 \cdot 5^2 teilbar, wenn sie durch 5^2 = 25 und 3 teilbar ist. Das heißt, ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein.

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

In einem Zahlensystem zur Basis B lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler T finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von B^n, B^n - 1 oder B^n + 1 sind. n sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

B=2: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,21,31,32,33,63,64,65, …
B=3: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,10,13,14,16,20,26,27,28,40,41,80,81,82, …
B=4: siehe B=2
B=5: Teiler 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,18,24,25,26,31,39,62,63,78,124,125,126,156,312,313,624,625,626, …

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei R ein kommutativer Ring. Sind a, b \in R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n \in R mit a \cdot n = b existiert.

In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a \mid b \Leftrightarrow (a) \supseteq (b).

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (2) \supseteq (4), also ist 2 ein Teiler von 4.

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

Nicht-kommutative Ringe

Bei nicht-kommutativen Ringen R \, muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte oder zweiseitige) mit angeben. Dies lässt sich mit dem einfachen Teilbarkeitssymbol „\mid“ (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht mehr ausdrücken.

Von zwei Elementen a,b \in R heißt a \, linker Teiler von b \, , falls ein x \in R mit  b = a \cdot x existiert. Dann ist auch b \, rechtes Vielfaches von a \, . Diese Teilbarkeit entspricht der Inklusion der Rechtsideale b \cdot R \subseteq a \cdot R. Entsprechend definiert man rechten Teiler, linkes Vielfaches und, wenn für links wie rechts gültig, auch zweiseitigen Teiler, zweiseitiges Vielfaches.

Körper

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer 0 teilbar, d. h. auch: alle von 0 verschiedenen Elemente sind Einheiten.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 09.02. 2020