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Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, bei dem die (additive) Wertigkeit eines Symbols von seiner Position, der Stelle, abhängt. Beispielsweise besitzen im weitverbreiteten Zehnersystem für den Beispiels-Wert „127“ die Ziffer „1“ den Wert 1 · 100, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert 2 · 10 sowie für die „7“ 7 · 1 – die Symbole „1“, „2“ und „7“ besitzen eine Wertigkeit, die davon abhängt, an welcher Position/Stelle sie in der Zahl stehen. Unter der Annahme eines endlichen Vorrats an Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt, im Beispiel „0“..„9“) hängt die Anzahl der erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch, d.h. für ganz große Zahlen) linear ist.

Die Größe b des Ziffernvorrats spielt eine entscheidende Rolle. Im Zehnersystem-Beispiel ist der Ziffernvorrat „0“ bis „9“, das sind b=10 verschiedene Symbole. Bei den wichtigen ganzzahligen Systemen ist der Wert der dargestellten Zahl gleich die Summe der Produkte des jeweiligen Ziffernwerts mit seinem Stellenwert, also ein Polynom in b mit den Werten der Ziffern als Koeffizienten; im Beispiel: Zahlenwert = „1“ · 102 + „2“ · 101 + „7“ · 100. Deshalb wird b als Basis oder Grundzahl des Systems bezeichnet. Die Darstellung von Zahlen bezüglich einer Basis b wird oft auch ihre b-adische Darstellung (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen) genannt. Jede ganze Zahl b\geq 2 eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem.[1]

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Basis 10), das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Basis 2), das Oktalsystem (mit der Basis 8), das Hexadezimalsystem (mit der Basis 16) sowie das Sexagesimalsystem (mit der Basis 60). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Eine binäre Uhr kann Leuchtdioden benutzen, um binäre Werte darzustellen. Im obigen Bild ist jede Spalte von Leuchtdioden eine BCD-Codierung der traditionell sexagesimalen Zeitdarstellung.

Geschichte

Siehe auch: Geschichte des Dezimalsystems

Das System stammt ursprünglich aus Indien. Adam Ries verbreitete mit seinen Werken das schriftliche Rechnen mit dem Stellenwertsystem im deutschsprachigen Raum.

Grundbegriffe

In einem Stellenwertsystem werden Zahlen mit Hilfe von Ziffern und gegebenenfalls Vorzeichen oder Trennzeichen dargestellt. Der Wert einer Zahl ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.

Basis

Die Anzahl der insgesamt vorhandenen Ziffern wird Basis b des Stellenwertsystems genannt. Ein Stellenwertsystem mit der Basis b nennt man auch b-adisches Zahlensystem. Die gängigsten Basen sind:

Zu weiteren in der Praxis verwendeten b-adischen Zahlensystemen siehe den Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Ziffernvorrat

Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau b verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert {\displaystyle \in \{0,1,\ldots ,b-1\}}.[2] Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein Ziffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

Ist die Basis sehr groß, kommt es meistens zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem. So ist es beim Sexagesimalsystem üblich, statt 60 verschiedenen Zeichen eine Dezimalzahl von 0 bis 59 als „Ziffer“ zu benutzen. IP-Adressen im IPv4-Format bestehen aus 4 „Ziffern“, die Werte von 0 bis 255 annehmen können und mit einem Punkt getrennt werden, beispielsweise 192.0.2.42. Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung Base64 gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der Elektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit 0 und 1 beschrieben, sondern es werden stattdessen h und l (für „high“- und „low“-Spannungswerte) verwendet (selten o und l für „on“ und „low“).

Stelle und Stellenwert

Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle. Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts.[3] Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

Es erweist sich hierbei als vorteilhaft, die Stellen nicht ab Eins, sondern ab Null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die i-te Stelle gerade den Stellenwert b^{i}. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Darstellungen verschiedener Zahlenarten

Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der b-adischen Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

{\displaystyle \mathbf {a} _{n}\ldots \mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{0}}

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl Z

{\displaystyle Z=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot b^{0}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{2}\cdot b^{2}+\dotsb +a_{n}\cdot b^{n}}

zugeordnet, wobei a_{i} der der Ziffer \mathbf {a} _{i} zugewiesene Ziffernwert ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl Z eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert Z ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer 0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender 0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl Z existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert Z ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge 694 im Dezimalsystem (b=10). Sie steht für:

{\displaystyle 4\cdot 10^{0}+9\cdot 10^{1}+6\cdot 10^{2}=694.}

Die Ziffernfolge 2B6 im Hexadezimalsystem (b=16) steht für {\displaystyle a_{0}+a_{1}\cdot b+a_{2}\cdot b^{2}} mit a_{0} = 6 = 6; a_{1} = B = 11; a_2 = 2 = 2.

Also hat die Folge 2B6 den Wert der Dezimalzahl

{\displaystyle 6+11\cdot 16+2\cdot 16^{2}=6+176+512=694.}

Entsprechend hat die Ziffernfolge 1010110110 im Dualsystem (b=2) den Wert der Dezimalzahl

{\displaystyle 0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{8}+1\cdot 2^{9}=2+4+16+32+128+512=694.}

Darstellung ganzer Zahlen

In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird ein Minuszeichen („“) beigefügt, das den Zahlkonstanten ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als vorzeichenbehaftete Null in der Form +0, –0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl als Inkrement kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen („+“) vorangestellt.

Darstellung rationaler Zahlen

Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt. Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit {\displaystyle b^{-i}} multipliziert, wobei i die Position hinter dem Komma angibt. Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=1+0/2+1/4+1/8=1+3/8.

Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich viele rationale Zahlen b-adisch darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aber periodisch ist. Gewöhnlich wird diese Periode durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

0,00110011…2 = 0,00112.

Dagegen bedeutet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (ternären) System die rationale Zahl 1·3−1 = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333… = 0,3dez entspricht.

Allgemein gilt, dass ein Bruch genau dann eine endliche b-adische Darstellung hat, wenn nach dem Kürzen alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von {\displaystyle b=:p_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}} (bei {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {P} } und {\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\in \mathbb {N} }) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch ein Dezimalbruch im engeren Sinne oder wird durch Erweitern zu einem solchen.)

Die endlichen Darstellungen bilden den Ring

{\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\{x\in \mathbb {Q} \mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:xb^{i}\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {Z} b^{\mathbb {Z} }},

wobei {\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset \mathbb {P} } für die Menge der Primfaktoren von b steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur Primteiler {\displaystyle p_{i}\in S}. Für jedes nichtleere S liegt der Unterring {\displaystyle \mathbb {Z} _{S}} von \mathbb {Q} (wie \mathbb {Q} selbst) dicht sowohl in \mathbb {Q} wie in \mathbb {R} , d.h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus \mathbb {Z} _{S} approximieren.[4]

Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen 1, 1,0, 1,000 im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen 01, 0001 mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken. Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung 1,000… = 1,0 und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung 0,999… = 0,9 (alle mit dem Wert 1) hinzu.[7]

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, so dass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z.B. bei der Z-Kurve gefordert, die {\displaystyle Z\,\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}} injektiv abbildet und bei der zwei b-Ziffernfolgen alternierend in eine gepresst werden. Die Unstetigkeitsstellen der Funktion Z sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche b-adische Darstellung haben.[6]

Die b-adische Darstellung eines gekürzten Bruchs {\displaystyle q=:z/(m\cdot n)} mit {\displaystyle z\in \mathbb {Z} ,m=p_{1}^{\mu _{1}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}} und n\in \mathbb {N} teilerfremd zur Basis b hat für n=1 die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist b ein Element der primen Restklasse {\displaystyle [b]\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}, so dass {\displaystyle b^{\varphi (n)}\equiv 1{\text{ mod }}n} ist (mit \varphi als der eulerschen φ-Funktion). Die b-adische Periodenlänge des gekürzten Bruchs q ist dann der kleinste Exponent {\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=e>0}, für den n ein Teiler von b^{e}-1 ist. (S.a. den Abschnitt Algorithmus für rationale Zahlen und den Artikel Rationale Zahl.)

Darstellung reeller Zahlen

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder {\sqrt {2}}) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und {\sqrt {2}} geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.[7]

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Formeln

Berechnung eines Ziffernwertes

Die letzte Ziffer der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist der Rest von n bei Division durch b. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

n-b\left\lfloor {\frac {n}{b}}\right\rfloor

gegeben; dabei bezeichnet \lfloor {\cdot }\rfloor die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten k Ziffern von n gebildete Zahl der Rest von n bei Division durch b^{k}.

Die Ziffer z_k an der k-ten Stelle (von rechts an der Einerstelle mit null beginnend und nach links fortschreitend gezählt) einer positiven reellen Zahl x ist

{\displaystyle z_{k}=\left\lfloor {\frac {x}{b^{k}}}\right\rfloor -b\left\lfloor {\frac {x}{b^{k+1}}}\right\rfloor .}

Dabei ist {\displaystyle z_{k}\in \{0,1,\dotso ,b-1\}} ein Element des Standardziffernvorrats. Nimmt man hinzu negative k, für die sich die entsprechende (negative) Nachkommastelle ergibt, dann hat man

{\displaystyle x=\sum _{k=-n}^{\infty }z_{-k}b^{-k}}

mit hinreichend großem {\displaystyle n:=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor .}

Algorithmus für rationale Zahlen

Für rationales {\displaystyle 0<x=p/q<1} (und eine Basis {\displaystyle b\in \mathbb {N} _{>1}}) lässt sich die obige Formel in den folgenden Algorithmus einbetten:

 function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert b–1
begin
  s = "";   // die zu bildende Zeichenkette
  pos =1; // hier sind alle Stellen rechts vom Komma
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest p
    z = floor(b*p/q); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = p*bz*q;    // p ganzzahlig: 0 ≤ p < q
    if p = 0 then pl = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen
    pos -= 1;
  end while
  pl = occurs[p]-pos; // die Periodenlänge (sie ist < q)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from -occurs[key] to -pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

Die erste gelb hervorgehobene Zeile entspricht der Ziffernberechnung des vorigen Abschnitts.

Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest {\displaystyle p'} der Division modulo des Nenners q . Die Gaußklammer floor bewirkt, dass

{\displaystyle bp/q-1\;\;<\;\;z=\lfloor bp/q\rfloor \;\;\leq \;\;bp/q.}

Daraus folgt {\displaystyle bp-q<zq\;\implies \;p':=bp-zq<q} und {\displaystyle zq\leq bp\;\implies \;0\leq bp-zq=:p',} zusammengenommen {\displaystyle 0\leq p'<q.} Da somit alle Reste p ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als q sind, es also nur q viele verschiedene von ihnen gibt, müssen sie sich in der while-Schleife wiederholen. Die Wiederkehr eines Restes p wird über die Existenz des assoziativen Datenfeldes occurs[p] festgestellt.

Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. (Genaueres zur Periodenlänge s. oben.)

Berechnung der Stellenzahl

Die Anzahl a der Ziffern der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n \in \N_0 ist

{\displaystyle a={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}n=0,\\\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1,&{\text{wenn }}n\geq 1.\end{cases}}}

Hinzufügen einer Ziffer

Gebräuchliche Basen

Besonders ausgeprägt ist das Quinärsystem bei den südamerikanischen Betoya: 1 = tey, 2 = cayapa, 3 = tozumba, 4 = cajezea, 5 = teente, 10 = caya ente, 15 = tozumba-ente, 20 = caesea ente.

Konvertierungen

Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.

Insbesondere, wenn Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren sind, ist es üblich und zweckmäßig, die Ziffernfolgen durch ein tiefgestelltes Suffix _{b} der Basis b des verwendeten Zahlensystems zu kennzeichnen. Dabei steht ein fehlendes Suffix und das Suffix 10 standardmäßig für die konventionelle dezimale Darstellung, explizit auch dez oder dec. Die Suffixe 2 oder b kennzeichnen binär und 16 oder h hexadezimal dargestellte Zahlen. Ferner wird als Ziffernvorrat der Standardsatz \{0,1,\ldots ,b-1\} angenommen. Gelegentlich wird die gekennzeichnete Ziffernfolge in eckige Klammern gesetzt.

Es gibt zwei wesentliche Varianten

Die Auswahl richtet sich am besten danach, welches Verfahren auf dem vorhandenen Kalkulator am einfachsten durchgeführt werden kann.

Beispiel 1: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 10 in eine Darstellung zur Basis 12

Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im Zwölfersystem.

Um diese Darstellung zu erhalten, dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Darstellung zur Basis 12. Dabei entspricht der erste Rest dem niedrigsten Ziffernwert der gesuchten neuen Darstellung (in unserem Fall also der Stelle 12^{0}), der zweite Rest entspricht dem zweitniedrigsten Ziffernwert (also der Stelle 12^{1}) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl erhalten wir somit 2887. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 2: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 16 in eine Darstellung zur Basis 10

Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Um diese Darstellung zu erhalten, multipliziert man die Ziffernwerte der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl erhalten wir somit {\displaystyle 40960+3840+240+14=45054}. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 3: Nachkommastellen

Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

Balancierte Stellenwertsysteme

Besondere Stellenwertsysteme sind die balancierten. Sie haben immer eine ungerade Basis b\in \mathbb {N} und verwenden sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge \{-{\tfrac {b-1}{2}},\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,{\tfrac {b-1}{2}}\}. Häufig werden die negativen Ziffern durch einen Unterstrich gekennzeichnet. So wird z.B. im balancierten Ternärsystem eine Zahl durch die Ziffern 1, 0, und 1 dargestellt, welchen die Werte −1, 0 und 1 zugeordnet sind.

Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:

Die Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig.

Es gibt aber rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu {\displaystyle \mathbf {t} :={\tfrac {b-1}{2}}} die größte Ziffer und {\displaystyle {\underline {\!\!\mathbf {t} \!\!}}:=-\mathbf {t} } die kleinste, dann ist bspw.

{\displaystyle 0{,}{\overline {\mathbf {t} }}\;=\;1{,}{\overline {\underline {\!\!\mathbf {t} \!\!}}}\;=\;{\frac {1}{2}}.}

Lexikographische Ordnung

Bei positiver Basis {\displaystyle b\in \mathbb {N} \!\setminus \!\!\{\!1\!\}} hängt die übliche Ordnungsrelation der reellen Zahlen eng zusammen mit der lexikographischen Ordnung der diese Zahlen darstellenden b-adischen Zeichenketten. Genauer:

Herleitung        

Sei dazu {\displaystyle 2\leq b\in \mathbb {N} } und {\displaystyle \Sigma :=\{z_{1},z_{2},\ldots ,z_{b}\}} ein streng totalgeordnetes Alphabet mit {\displaystyle z_{k}\prec z_{k+1},} dessen Ordnungsrelation mit {\displaystyle \prec } bezeichnet sei. Ferner seien {\displaystyle S,T\in \Sigma } zwei Zeichen mit {\displaystyle S\prec T}, dann ist lexikographisch

{\displaystyle Ss\prec Tt}

für alle Zeichenketten {\displaystyle s,t\in \Sigma ^{\infty }} mit {\displaystyle \Sigma ^{\infty }} als der Menge der beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten über \Sigma (einschließlich der kleeneschen Hülle \Sigma ^{*} von \Sigma ).

Die Zeichenketten können auch als b-adische Darstellung aufgefasst werden, und zwar seien dazu die Werte

{\displaystyle w\,\colon \Sigma \to \mathbb {Z} }

der Ziffern {\displaystyle z_{k}} lückenlos aufeinanderfolgend festgelegt, also

{\displaystyle w(z_{k+1})=w(z_{k})+1},

so dass \Sigma ein minimaler Ziffernvorrat für ein b-adisches System und {\displaystyle w(z_{b})=w(z_{1})+b-1} ist. Wir beschränken uns auf Ziffernwerte, deren Betrag nicht größer ist als die Basis, also {\displaystyle w\,\colon \Sigma \to [-b,+b]} (womit die wichtigsten in der Praxis vorkommenden Fälle abgedeckt sind). Die Ziffern {\displaystyle S,T\in \Sigma } lassen sich so wählen, dass {\displaystyle w(S)=w(T)-1} ist. Dies verträgt sich mit {\displaystyle S\prec T}, und die obige lexikographische Ungleichung bleibt gültig, auch wenn die Ketten {\displaystyle s:=z_{b}z_{b}z_{b}\ldots } und {\displaystyle t:=z_{1}z_{1}z_{1}\ldots } ins Unendliche fortgesetzte Perioden haben.

Für die Auswertung der Zeichenketten entsprechend dem b-adischen System braucht man eine Fortsetzung

{\displaystyle \omega \,\colon \Sigma ^{\infty }\to [-1,1]}

der Wertefunktion w mit {\displaystyle \omega (z)=w(z)/b\;\in [-1,1]} für {\displaystyle z\in \Sigma } und mit

{\displaystyle \omega (x_{1}x_{2}x_{3}\ldots )=\sum _{i=1}^{\infty }w(x_{i})b^{-i}} .

In Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags konvergieren die Reihen

{\displaystyle \omega (s)=\omega (z_{b}z_{b}z_{b}\ldots )=\sum _{i=1}^{\infty }w(z_{b})b^{-i}={\frac {w(z_{b})}{b-1}}}

und

{\displaystyle \omega (t)=\omega (z_{1}z_{1}z_{1}\ldots )=\sum _{i=1}^{\infty }w(z_{1})b^{-i}={\frac {w(z_{1})}{b-1}}} ,

und es ist

{\displaystyle \omega (s)={\frac {w(z_{b})}{b-1}}={\frac {w(z_{1})+b-1}{b-1}}={\frac {w(z_{1})}{b-1}}+1=\omega (t)+1} .

Damit gilt zwar lexikographisch

{\displaystyle Ss\prec Tt}

(und die Zeichenketten sind offensichtlich verschieden in {\displaystyle \Sigma ^{\infty }}), sie werden aber auf dieselbe reelle Zahl

{\displaystyle \omega (Ss)=(w(S)+\omega (s))/b=(w(T)-1+\omega (t)+1)/b=(w(T)+\omega (t))/b=\omega (Tt)\;\in [-1,1]}

abgebildet. Somit ist \omega nicht injektiv.

Schließt man bei den Ordnungsrelationen die Gleichheit mit ein, dann gilt

{\displaystyle Ss\preceq Tt\quad \implies \quad \omega (Ss)\leq \omega (Tt)}

und \omega ist ein Ordnungshomomorphismus, der aber nicht bijektiv und also kein Ordnungsisomomorphismus ist.

Im Abschnitt Darstellung rationaler Zahlen wurde {\displaystyle \mathbb {Z} b^{\mathbb {Z} }} als die Menge der reellen Zahlen mit endlicher Darstellung herausgearbeitet. Die Menge der reellen Zahlen mit mehrfacher Darstellung ist dann

{\displaystyle \mathbb {Z} b^{\mathbb {Z} }+{\frac {w(z_{1})}{b-1}}} ,

also bei {\displaystyle w(z_{1})=0} dieselbe wie die der endlichen Darstellungen; so bei vielen gebräuchlichen b-adischen Systemen.

Verallgemeinerungen

Zahlensysteme mit gemischten Basen

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

 

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.[10]

Datumsformat als Zahlensystem mit gemischten Basen

Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung

[1-12] [1–31] [0–9][2,4,*] [1-12] [am,pm] [0–59] [0–59] [0–9]*

angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind.[11] Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.

Nicht-natürliche Zahlen als Basis

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

Negative Basen

Stellenwertsysteme mit negativen Basen b\in \mathbb {Z} mit b\leq -2 kooperieren mit denselben Ziffernvorräten wie ihre positiven Entsprechungen -b\in \mathbb {N} und r:=|b| wird oft als Radix bezeichnet. Sie werden häufig mit der Vorsilbe nega- gekennzeichnet, bspw. das negadezimale, negabinäre, negaternäre usw. Stellenwertsystem.

Diese Stellenwertsysteme kommen ohne ein extra Vorzeichen aus. Andererseits benötigen die Darstellungen häufig eine Ziffer mehr als im entsprechenden System mit positiver Basis. Ferner sind die arithmetischen Operationen, insbesondere der arithmetische Vergleich und die Bildung des Absolutbetrags, etwas komplexer.

Ist der Ziffernvorrat minimal, bspw. {\displaystyle \{0,1,\ldots ,-b\!-\!\!1\}}, dann sind alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar. Wie bei den positiven Basen gibt es rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu

{\displaystyle T:=0{,}{\overline {01}}_{b}=\sum _{i=1}^{\infty }b^{-2i}={\frac {1}{b^{2}-1}}}

und {\displaystyle \mathbf {t} :=-b\!-\!\!1} die größte Ziffer, dann ist sowohl

{\displaystyle 0{,}{\overline {0\mathbf {t} }}_{b}=\mathbf {t} T={\frac {-b\!-\!\!1}{b^{2}-1}}={\frac {1}{-b+1}}}

als auch

{\displaystyle 1{,}{\overline {\mathbf {t} 0}}_{b}=1+\mathbf {t} bT={\frac {(b^{2}-1)+(-b\!-\!\!1)b}{b^{2}-1}}={\frac {1}{-b+1}}.}

Irrationale Basen

Will man alle reellen Zahlen darstellen, dann muss bei nicht-ganzzahliger oder irrationaler Basis b\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} die Minimalgröße des Ziffernsystems \lceil |b|\rceil (Betragsstriche und Gaußklammern) sein. Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht.

Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} als Basis und \left\{0,1\right\} als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form s+t\cdot {\sqrt {5}} mit rationalen s,t dar. Trotzdem hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung.

Eine ebenfalls auf dem Goldenen Schnitt basierende Darstellung ist die Zeckendorf-Darstellung, bei der allerdings nicht die Potenzen von \Phi , sondern die Fibonacci-Zahlen als Stellenwerte genommen werden.

Nicht-reelle Basen

Das erste Zahlsystem, das eine komplexe Zahl nicht als zwei separate Ziffernfolgen – je eine für Real- und eine für Imaginärteil – darstellt, sondern eine komplexe Zahl als eine einzige Ziffernfolge, war das von D. Knuth 1955 vorgeschlagene „quater-imaginäre“ System. Es hat 2\mathrm {i} als Basis und 0, 1, 2, 3 als Ziffern. Dort ist bspw. -1=103_{2\mathrm {i} } und \mathrm {i} =10{,}2_{2\mathrm {i} }.

Ein anderes System wurde 1964 von S. Khmelnik vorgeschlagen und für Digitalmaschinerie ausgearbeitet. Es hat \mathrm {i} -1 als Basis und 0, 1 als Ziffern. Bspw. ist -1=11101_{\mathrm {i} -1} und \mathrm {i} =11_{\mathrm {i} -1}.

p-adische Zahlen

Hauptartikel: p-adische Zahl

Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf der Konvergenz in Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags. Die unendlichen Reihen – die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten {\displaystyle \searrow -\!\infty }), konvergieren – sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für die rationalen Zahlen auch Metriken, die auf nichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten {\displaystyle \nearrow +\!\infty }), konvergieren – sind p-adische Zahlen.

Zwar stimmen endliche p-adische Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher) p=:b-adischer Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:

  1. Die p-adischen Darstellungen sind immer (umkehrbar) eindeutig.
  2. Ein Vorzeichen wird nicht benötigt. Die Darstellung von -1 als unendliche Summe ist {\textstyle -1=\sum _{i=0}^{\infty }(p-1)\cdot p^{i}}.
  3. Ein p-adischer Ring kann nicht angeordnet werden.
  4. Ist p zerlegbar, also keine Primzahl, dann enthält der p-adische Ring \mathbb {Z} _{p} Nullteiler (die allesamt nicht-abbrechende Darstellungen haben).
  5. Die nicht-abbrechenden Reihen stellen in beiden Systemen Zahlobjekte mit völlig verschiedenen arithmetischen Eigenschaften dar. Die periodischen unter ihnen stellen in beiden Systemen rationale Zahlen dar.
  6. Alle Algorithmen für die Grundrechenarten beginnen rechts bei den kleinen Exponenten (möglicherweise negativ, aber {\displaystyle >-\!\infty }) und laufen wie die Potenzen und Überträge in die gleiche Richtung nach links zu den großen Exponenten. Wenn die Rechnung abgebrochen wird, kann sofort die Größe des Fehlers angegeben werden.

Weiterführende Texte

Der Artikel Teilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist. Die Cantorsche Normalform verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem auf Ordinalzahlen.

Anmerkungen

  1. Der Fall b=1 bedeutet einen nur aus einem einzigen Element bestehenden Ziffernvorrat, so dass als Unterscheidungsmerkmal zwischen zwei Darstellungen nur ihre Länge in Frage kommt. Das führt im besten Fall zum Unärsystem, einem nicht so mächtigen Darstellungssystem, welches nicht als Stellenwertsystem gilt, da die Wertigkeit einer Ziffer unabhängig von ihrer Position immer gleich ist.
  2. Interessant sind auch Ziffernsysteme mit negativen Ziffernwerten, insbesondere die balancierten Stellenwertsysteme. Eher exotisch sind die Systeme von David W. Matula.
    Alle enthalten jedoch die Null, da sonst die Null selbst nicht darstellbar ist und eine abgebrochene Darstellung sich um mehr als den kleinsten Stellenwert von der genauen Zahl unterscheidet.
  3. Eine solche Notation mit von links nach rechts absteigender Wertigkeit ist in der Datenverarbeitung im Format Big-Endian beibehalten worden.
  4. Im Fall {\displaystyle S=\{p\}} für ein {\displaystyle p\in \mathbb {P} } ist {\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}} nicht mit dem diskreten Bewertungsring {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Z} _{S'}} mit {\displaystyle S':=\mathbb {P} \setminus \{p\}} zu verwechseln, der auch dicht liegt in \mathbb {Q} , dessen eingeprägte Bewertung aber zur völlig anderen Vervollständigung, nämlich den p-adischen Zahlen \mathbb {Z} _{p} führt.
  5. Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis {\displaystyle b\in \;\mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}} und jedem „vernünftigen“ Ziffernsystem auf. Für b > 0 siehe den Abschnitt Lexikographische Ordnung, für {\displaystyle b<0} den Abschnitt Negative Basen, jeweils mit Beispielen für Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
  6. Ganz ähnlich verhält es sich bei der Hilbert-Kurve.
  7. Ihr Maß ist 0 und damit auch der Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
  8. Gleichwohl injektiv, wenn eingeschränkt auf die kleenesche Hülle \Sigma ^{*} (Zeichenketten endlicher Länge).
  9. Wie oben bei den Zweierpotenzen kann eine solche Darstellung als „Sonderfall“ einer ab-adischen aufgefasst werden.
  10. Ist jeder Position eine eigene Ziffer (oder mehrere) zugeordnet, hat man im Ergebnis ein Additionssystem.
  11. An Zyklen der realen Welt angelehnt sind dabei nur Tag, Monat und Jahr (deren Inkommensurabilität mit einem beträchtlichen organisatorischen Aufwand (z.B. durch Einführung eines Schaltjahres) aufgefangen wird). Alle anderen Eigenwilligkeiten der Darstellung sind menschliche, mit einer außerordentlichen Beständigkeit behaftete Artefakte.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 11.06. 2020