Null

0

Die Zahl Null ist die Anzahl der Elemente in einer leeren Ansammlung von Objekten, mathematisch gesprochen die Kardinalität der leeren Menge. Null bezeichnet in der Mathematik je nach Kontext verschiedenartig definierte Objekte, die jedoch oft miteinander identifiziert werden können, d.h. als dasselbe Objekt angesehen, das verschiedene miteinander kompatible Eigenschaften vereint. Da Kardinalzahlen (Anzahl der Elemente einer Menge) mit speziellen Ordinalzahlen identifiziert werden, und die Null gerade die kleinste Kardinalzahl ist, wird die Null – im Gegensatz zum gängigen Sprachgebrauch – auch als erste Ordinalzahl gewählt. Als endliche Kardinal- und Ordinalzahl wird sie je nach Definition oft auch zu den natürlichen Zahlen gezählt. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition (anschaulich gesprochen die Differenz zweier gleicher Zahlen) in vielen Körpern, wie etwa den rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, und eine gängige Bezeichnung für ein neutrales Element in vielen algebraischen Strukturen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identifiziert werden. Als ganze Zahl ist die Null Nachfolgerin der Minus-Eins und Vorgängerin der Eins. Die Zahl Null ist gerade. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist.

Dargestellt wird die Null durch die Ziffer „0“, deren Einführung Stellenwertsysteme wie die Dezimalzahlen erst möglich machte.

Die Geschichte der Null

Erst die Erfindung eines Stellenwertsystems mit dem Lückenzeichen „0“ und die Betrachtung von „0“ als eigenständige Ziffer, die etwas darstellt, mit dem man wie mit anderen Zahlen rechnen konnte, führte zur Vorstellung, dass die Null „0“ eine Zahl sei. Damit war eine Grundlage für die weitere Entwicklung der Mathematik gelegt.

Die Zahlensymbole der Maya. Die Ziffer Null wurde mit einem Zeichen dargestellt, das einer Muschel oder einem Schneckenhaus ähnelt.

Symbole und Schreibweisen

Die indische Ziffer 0

Sofern Verwechslungsgefahr mit dem großen lateinischen Buchstaben O besteht, wird die Ziffer 0 mit einem Schrägstrich oder Punkt gekennzeichnet, z.B.: 0\!\!\!{/} oder 0̷ oder 0\!\!{\cdot}.

In der Mathematik steht das Symbol „0“ häufig auch allgemein für Nullelemente von Strukturen, selbst wenn diese von einer Zahl 0 unterschieden werden.

Die Null im Stellenwertsystem

Eine einzeln stehende Null bezeichnet den Wert von Nichts. Wenn die Ziffer 0 jedoch an eine Ziffernfolge angehängt wird, multipliziert sich deren Wert mit der Basis des Stellenwertsystems.

Führende Nullen werden üblicherweise weggelassen bzw. bei einer formatierten Ausgabe durch Leerzeichen ersetzt.

Bei Dezimalzahlen werden Nullen nach dem Komma üblicherweise weggelassen, wenn ihnen keine andere Ziffer mehr folgt. Bei einer formatierten Ausgabe werden sie entsprechend dem Ausgabeformat geschrieben. Eine Ausnahme bilden die Angaben von Messwerten. Hier wird die Null oft zusätzlich geschrieben, um die Genauigkeit der Messung zu veranschaulichen.

Beispiel: Eine Länge wird mit 1,200 m gemessen. Die zwei zusätzlichen Nullen zeigen hier, dass die Messung auf drei Stellen hinter dem Komma genau war.

Typenangaben erfolgen oft mit führender Null, z.B. 001.

Arithmetische Eigenschaften

Die Zahl Null weist einige besondere Eigenschaften auf, die bei der Untersuchung von Rechenregeln hervortreten.

Addition

Die Null symbolisiert im mathematischen Sinne das neutrale Element der Addition in einem kommutativen Monoid, das heißt: Für jedes Element a des Monoids gilt

 a + 0 = a = 0 + a .

Die Null im mathematischen Sinne (als neutrales Element eines Monoids) ist stets eindeutig.

Subtraktion

Die Null entsteht als Resultat einer Differenz, bei der der Subtrahend gleich dem Minuenden ist

 a - a = 0 .

Ferner ist

 a - 0 = a

und

 0 - a = -a .

Multiplikation

Durch Einführung der Rechenoperation der Multiplikation, mathematisch formal in der Definition eines Ringes, erhält man folgende Regel:

 a \cdot 0 = 0 = 0 \cdot a .

Man sagt auch, die Null ist ein absorbierendes Element der Multiplikation.

Division

Das Ergebnis der Division von null durch eine von null verschiedene Zahl ist stets null. Das Ergebnis null tritt nur auf, wenn der Dividend null ist.

Jede mögliche Definition der Division einer Zahl durch null verstößt gegen das Permanenzprinzip. Deshalb ist es in aller Regel zweckmäßig, solche Division undefiniert zu lassen.

Für natürliche Zahlen kann die Division als wiederholte Subtraktion angesehen werden:
Um die Frage „Wie oft muss man 4 von 12 abziehen, um 0 zu erhalten?“ zu beantworten, also 12 : 4 zu bestimmen, kann man so rechnen:

12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0

Die Anzahl der Subtraktionen ist 3.

Also ist 12 : 4 = 3

Bei 12 : 0 lautet die Frage: „Wie oft muss man 0 von 12 abziehen um 0 zu erhalten?“ Antwort: Keine Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Anmerkung: Bei 0 : 0 lautet die Frage: „Wie oft muss man 0 von 0 abziehen, um 0 zu erhalten?“ Antwort: Jede beliebige (also keine eindeutige) Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Für beliebige Zahlenmengen ist die Division als Umkehrung der Multiplikation definiert. Bei der Division von b durch a sucht man eine Zahl x, welche die Gleichung  a \cdot x = b erfüllt. Diese Zahl x – sofern sie eindeutig bestimmt ist – schreibt man als Quotienten  x = \frac {b}{a}

Im besonderen Fall, dass a = 0 ist, gibt es kein eindeutiges Ergebnis: Wir suchen eine Lösung der Gleichung  0 \cdot x = b .

Also gibt es in beiden Fällen kein eindeutiges Ergebnis bei der Division durch null.

Beim Rechnen mit reellen (oder komplexen) Zahlen ist es also nicht möglich, durch null zu dividieren, da diese Operation kein eindeutiges Ergebnis hätte: Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar. Dies gilt allgemein für jeden Ring.

Historische Ansichten

Für Leonhard Euler war die Division von  1 : 0 = \infty (Unendlich). Entsprechend nahm er an, dass es verschieden große unendliche Zahlen gab, denn z.B. 2 : 0 würde (so Euler) eine doppelt so große unendliche Zahl wie 1 : 0 ergeben.

Auch bei den Indern blieb das Problem der Division durch null ungelöst. Brahmagupta kam zu keinem Ergebnis, verbot die Division durch null aber auch nicht, während Bhaskara im 12. Jahrhundert wie Euler auf das Ergebnis unendlich kam.

Potenzrechnung

Für b>0 ist 0^b=0. Für b<0 ist 0^b nicht definiert.

Per Definition gilt a^0=1, für a \ne 0. Der Ausdruck 0^0 wird entweder undefiniert gelassen oder – sofern dies zweckmäßiger ist – als 1 definiert. Siehe Potenz.

Auftreten in der Algebra

In Restklassenringen (aber nicht nur dort) existieren sogenannte Nullteiler, zum Beispiel gilt im Restklassenring modulo 6 die Gleichung 2 · 3 = 0. Daraus folgt jedoch nicht, dass 0 / 2 = 3 ist, denn auch 2 · 0 = 0. Man kann also diesen Quotienten nicht eindeutig (und damit sinnvoll) definieren und daher auch nicht durch einen Nullteiler dividieren. Mit 0 wird auch das neutrale Element einer beliebigen (additiven) Gruppe, beispielsweise Nullvektoren und Nullmatrizen, bezeichnet.

Sprachgebrauch

Herkunft des Wortes

Mit der Einführung der Ziffer 0, die zugleich einen Zahlwert darstellte, musste für diese 0 eine Benennung gefunden werden, im Deutschen ist es null, in anderen Sprachen zero/zéro. Die Entwicklung in den modernen europäischen Sprachen war folgende: Im Italienischen bildete sich – vom Arabischen entlehnt – das Wort zero, das wurde dann im Französischen und schließlich Englischen gebräuchlich. „Null“ hat im Englischen – und in der Informatik – eine von 0 zu unterscheidende Bedeutung, Nullwert.

Die heutige deutsche Bezeichnung null stammt vom lateinischen Wort nullus (= keiner) bzw. altitalienisch nulla figura (= keine Ziffer, nichts). Die ursprüngliche Bedeutung von null im Deutschen steckt noch in der Wendung null und nichtig = ungültig (ohne Wert), dies ist eine Doppelung, auch null bedeutet hier „nichtig“.



Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.03. 2017