Kreiszahl

Der griechische Buchstabe Pi
Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von \pi.

Die Kreiszahl \pi (Pi) ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. \pi ist eine irrationale und transzendente Zahl und kommt in zahlreichen Teilgebieten der Mathematik, auch außerhalb der Geometrie, vor. Die Dezimalbruchentwicklung der Kreiszahl beginnt mit

\pi = 3{,}14159 \ldots

Die Kreiszahl und manche ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt, die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi (\pi) (nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – peripheria, „Randbereich“ bzw. περίμετρος – perimetros, „Umfang“) wurde im 18. Jahrhundert durch Leonhard Euler populär, nachdem sie bereits vorher unter anderem von William Oughtred (Theorematum in libris Archimedis de Sphaera et Cylindro Declaratio, 1647) und William Jones (Synopsis palmariorum matheseos, 1706) verwendet worden war.

Mathematische Grunddaten

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl \pi. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau) festzulegen.

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl \pi ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen p, q \in \mathbb{Z}, also als Bruch \tfrac{p}{q} dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl \pi sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das \pi als eine Nullstelle hat. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, \pi nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da \pi eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung

\pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit. Siehe auch den Abschnitt zur Frage der Normalität.

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da \pi irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von \pi keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern (Folge A001203 in OEIS):

\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]


\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}


Eine weitere Kettenbruchdarstellung von \pi ist


\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{\ddots}}}}}

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl die folgenden:

\frac{p_0}{q_0} =            [3]   = \frac{3}{1}
\frac{p_1}{q_1}=             [3; 7]    = \frac{22}{7}
\frac{p_2}{q_2}=             [3; 7, 15]    = \frac{333}{106}
\frac{p_3}{q_3}=             [3; 7, 15, 1]    = \frac{355}{113}
\frac{p_4}{q_4}=             [3; 7, 15, 1, 292]    = \frac{103993}{33102}
\frac{p_5}{q_5}=             [3; 7, 15, 1, 292, 1]    = \frac{104348}{33215}
\dots
\frac{p_{10}}{q_{10}}=       [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3] = \frac{4272943}{1360120}
\dots
\frac{p_{20}}{q_{20}}=       [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1] = \frac{21053343141}{6701487259}
\dots

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist der Abstand des Mittelpunktes zur (euklidischen) Kreisebene sehr klein und damit der Unterschied zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar, ansonsten muss die Abweichung jedoch berücksichtigt werden.

Bezeichnung

Die Kreiszahl \pi wird auch Archimedes-Konstante und nach Ludolph van Ceulen Ludolphsche Zahl genannt. Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben \pi, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.

Bereits einige Zeit früher verwendete der englische Mathematiker William Oughtred in seiner erstmals 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio die Bezeichnung \tfrac{\pi}{\delta}, um das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) auszudrücken, d. h. \tfrac{\pi}{\delta}= 3{,}1415... Dieselben Bezeichnungen verwendete um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. David Gregory verwendete \tfrac{\pi}{\rho} (1697) für das Verhältnis von Umfang zu Radius.

Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben \pi für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd

Schon vor den Griechen suchten Menschen nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obwohl die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., die Zahl mathematisch einzugrenzen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an \pi phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näherzukommen. So ist das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises beispielsweise wichtig für die Berechnung der Länge des Beschlages eines Rades, das Binden eines Kranzes oder das Volumen eines Fasses.

Dabei beziehen sich die ältesten Überlieferungen immer auf konkrete Objekte; ob die mathematische Gesetzmäßigkeit erkannt wurde, ist unklar. So ließ der Bibel zufolge König Salomo durch den Kupferschmied Hiram von Tyrus für den Jerusalemer Tempel ein rundes Wasserbecken herstellen:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

– 1 Kön 7,23 EU

Somit lässt sich für das beschriebene Objekt ein Verhältnis von Umfang zu Durchmesser mit dem Wert 3 folgern. Man kann annehmen, dass eine ungenaue Messung oder Überlieferung von Umfang und Durchmesser vorliegt.

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert \left(\tfrac{16}{9} \right)^2 \approx 3{,}1605. Als Näherung für \pi benutzten die Babylonier 3 oder auch 3+\tfrac{1}{8}=3{,}125. In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert \left(\tfrac{26}{15} \right)^2 \approx 3{,}0044 für \pi. Der indische Mathematiker Aryabhata bestimmte im 6. Jahrhundert den Wert der Kreiszahl für damalige Verhältnisse sehr genau auf 3,1416.

Archimedes von Syrakus

Die Summe der Flächen der grauen „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Für Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von \pi nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob \pi also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von \sqrt2 die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen wie die Möndchen des Hippokrates.

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von \pi beweisen, auch wenn die Mathematiker es schon lange vermutet hatten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Archimedes (Gemälde von Domenico Fetti, 1620)

Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für \pi zu gewinnen. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die gleiche Größe (die Kreiszahl). Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als  3+ \tfrac{10}{70} sein müsse, jedoch größer als  3+ \tfrac{10}{71} :

 3{,}1408450 \approx 3 + \tfrac{10}{71} <\pi< 3 + \tfrac{10}{70} \approx 3{,}1428571

Nach Heron von Alexandria besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

 3 + \tfrac{9552}{67441} < \pi < 3 + \tfrac{10835}{62351}

Wilbur Knorr korrigiert zu:

 3 + \tfrac{8915}{62991} < \pi < 3 + \tfrac{9552}{67441}       (3{,}1415281<\pi<3{,}1416349)
Archimedes pi.svg

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit des Stillstandes nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an \pi erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704, später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,14159. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < \pi < 3,1415927, also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch \tfrac{355}{113} (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von \pi), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3·228-Eck 2\cdot \pi bereits auf 16 Stellen genau.

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von \pi zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen 2^{62}-Eck fort. Der Name ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener 2^n-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für \pi in Form eines unendlichen Produktes ab:

\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \dots = \frac2{\pi}
John Wallis

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

 \frac21 \cdot \frac23 \cdot \frac43 \cdot \frac45 \cdot \frac65 \cdot \frac67 \cdot \frac87 \cdot \frac89 \cdot \dots = \frac{\pi}2

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

\frac4{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\textstyle \frac{ 3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{\;\,\ddots}}}}}
Gottfried Wilhelm Leibniz (Porträt von Christoph Bernhard Francke, um 1700)

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \mp \cdots = \frac{\pi}{4}

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen \arctan 1 = \tfrac{\pi}4 auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

 \arctan \theta = \frac{\theta^1}{1} - \frac{\theta^3}{3} + \frac{\theta^5}{5} - \frac{\theta^7}{7} \pm \cdots

Sie war Grundlage vieler Approximationen von \pi in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von \pi. Seine Gleichung

 4\arctan\frac15 - \arctan\frac1{239} = \frac{\pi}4

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im Reellen über das Additionstheorem des Arkustangens gewinnen, einfacher geht es durch Betrachtung des Argumentes der komplexen Zahl

 (5+i)^{4} \cdot (239 - i) = 114244+114244 i = 114244\cdot\sqrt2\cdot e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}.
Leonhard Euler (Pastell von Emanuel Handmann, 1753)

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande \pi bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=\zeta(2) = \frac{\pi^2}6
\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\quad\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}, \quad \cdots
\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\frac1{9^2}+\cdots= \frac{\pi^2}8
\frac{1}{2\cdot3\cdot4} - \frac{1}{4\cdot5\cdot6} + \frac{1}{6\cdot7\cdot8} \mp \cdots = \frac{\pi - 3}{4}
Johann Heinrich Lambert
Lambert, Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Band 2, Ausgabe 1, 1792, Seite 156

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle \frac{5^2} {11+\textstyle \frac{6^2}{\;\,\ddots}}}}}}

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen relativ hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von \pi eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung \tfrac{22}{7} \approx 3{,}142857 und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber \pi beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch \tfrac{355}{113} \approx 3{,}1415929 , immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für \pi ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von \pi entsprechen, z.B.:

\frac{22}{7} = [3;7],\quad \frac{355}{113} = [3;7,15,1]

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten für \pi dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders S. Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \cdot\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n)! \cdot (1103+26390 n)}{(n!)^{4} \cdot 396^{4 n}}

Solche effizienteren Verfahren, deren Implementation allerdings Langzahlarithmetik benötigt, sind Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz.

Moderne numerische Verfahren

BBP-Reihen

1995 entdeckte Simon Plouffe, zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey, eine neuartige Reihendarstellung für \pi:

\pi = \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac4{8k+1} - \frac2{8k+4} - \frac1{8k+5} - \frac1{8k+6}\right)

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die n-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer 2er-Potenzbasis von \pi zu berechnen, ohne dass zuvor die n-1 vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für \pi weitere BBP-Reihen gefunden:

\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}

Tröpfelalgorithmus

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von \pi fand Stanley Rabinowitz. Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von \pi gefunden worden.

Berechnung mittels Flächenformel

In ein Quadrat einbeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass \pi in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius r lautet

A_K = \pi r^2,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge 2r errechnet sich als

A_Q = (2r)^2.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

\frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}.

Damit lässt sich \pi als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: \pi=4\,\frac{A_K}{A_Q}.

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der \pi näherungsweise berechnet werden kann.

Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von \pi hängt von der Gitterweite ab und wird mittels r kontrolliert. Mit r = 10 erhält man z. B. 3,16 und mit r = 100 bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon r = 10000 zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = r ^ 2
for i = 0 to r-1
  x = i + 0.5
  for j = 0 to r-1
    y = j + 0.5
    if x ^ 2 + y ^ 2 < = r ^ 2 then
      kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4*kreistreffer / quadrattreffer { 3.14159388 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes r marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von \pi ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich  \tfrac{\pi}{4}.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von \pi lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer gewissen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl N der Nadelwürfe durch die Zahl P der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt

\frac{N}{P} = \frac{\pi }{2} \frac{d}{\ell},

wobei \ell die Länge der Nadeln und d den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für \pi. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von \pi \approx 3{,}159.

Geometrische Näherungskonstruktion

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl \pi gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von \pi als Kreiszahl unmittelbar hervor.

Formeln der Analysis

Jean Baptiste Joseph Fourier

Im Bereich der Analysis spielt \pi ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

Diese Identität als Kombination der Kreiszahl \pi, der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl e, der Imaginären Einheit i und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.

Formeln der Funktionentheorie

Auch in der Funktionentheorie bzw. komplexen Analysis taucht die Kreiszahl auf. Darunter bei

Formeln der Zahlentheorie

Formeln der Physik

In der Physik spielt \pi neben

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort \pi über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

Außerdem

Anwendungen und Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften, wie etwa im Ingenieurbau, sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist.

Beispielsweise genügen zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa 1,38·1010 a) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 299.792 km·s-1 oder 9,45·1015 m·a-1) ergibt, also rund 1,30·1026 m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa 8,20·1026 m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 1,616·10-35 m. Der Kreis besteht also aus 1,3245·1062 Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 63 Dezimalstellen von \pi ausreichen.

Im August 2010 lag der Rekord bei numerischen Berechnungen bei etwa 5 Billionen Dezimalstellen. Ein praktischer Nutzen dieser Rechnungen liegt in der Möglichkeit, Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von \pi führen.

Offene Frage der Normalität

Eine zurzeit besonders aktuelle mathematische Frage bezüglich \pi ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

In letzter Konsequenz würde das beispielsweise bedeuten, dass \pi alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der oben erwähnten Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von \pi zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von \pi auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl \pi entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl \pi tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als \pi ab.

Bislang ist nicht einmal bekannt, ob nicht ab einer gewissen Stelle beispielsweise nur noch die Ziffern 5 und 6 auftreten.

Entwicklung der Nachkommastellen von π

Den Rekord der Berechnung von \pi hielt 2010 einige Monate lang der in Paris lebende Softwareentwickler Fabrice Bellard mit 2.699.999.990.000 (rund 2,7 Billionen) Stellen. Für die Berechnung benutzte Bellard einen handelsüblichen Core-i7-PC. Die Berechnung dauerte insgesamt 131 Tage: 103 Tage für die Binärdarstellung, 13 Tage für eine Plausibilitätsprüfung, 12 Tage für die Umrechnung in die Dezimalform und drei weitere Tage zum Verifizieren, damit man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit von einem korrekten Ergebnis ausgehen kann.

Mathematiker Jahr Dezimalstellen Methode
Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind) ca. 17. Jahrhundert v. Chr. 1 nur beispielhaft
Archimedes ca. 250 v. Chr. 2 96\text{-Eck}
Liu Hui nach 263 5 3072\text{-Eck}
Zu Chong-Zhi ca. 480 6  
Dschamschid Masʿud al-Kaschi ca. 1424 15 3\cdot2^{28}\text{-Eck}
Ludolph van Ceulen 1596 20  
Ludolph van Ceulen 1610 35 2^{62}\text{-Eck}
Jurij Vega 1794 126  
William Shanks 1853 (527) Reihenentwicklung von \arctan \tfrac{1}{5} und \arctan \tfrac{1}{239}. Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von \pi per Hand. Im Jahr 1945 wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.
Levi B. Smith, John W. Wrench 1949 1.120  
Daniel Shanks, John W. Wrench 1961 100.265  
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura 1982 16.777.206  
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo 1987 134.217.700  
David und Gregory Chudnovsky 1989 1.011.196.691  
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1997 51.539.600.000  
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1999 206.158.430.000  
Yasumasa Kanada 2002 1.241.100.000.000 Berechnung: \pi = 48 \arctan \tfrac{1}{49} + 128 \arctan \tfrac{1}{57} - 20 \arctan \tfrac{1}{239} + 48 \arctan \tfrac{1}{110443}
Verifikation: \pi = 176 \arctan \tfrac{1}{57} + 28 \arctan \tfrac{1}{239} - 48 \arctan \tfrac{1}{682} + 96 \arctan \tfrac{1}{12943}
Daisuke Takahashi 2009 2.576.980.370.000 Gauß-Legendre-Algorithmus
Fabrice Bellard 2010 2.699.999.990.000 Chudnovsky-Algorithmus
Shigeru Kondo, Alexander Yee 2010 5.000.000.000.000 Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel. Rechenzeit: 90 Tage
Shigeru Kondo, Alexander Yee 2011 10.000.000.000.000 Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel. Rechenzeit: 191 Tage
Shigeru Kondo, Alexander Yee 2013 12.100.000.000.050 Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Bellards Formel. Rechenzeit: 82 Tage

Alternative Kreiszahl τ

Der amerikanische Mathematiker Robert Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins „The Mathematical Intelligencer“ vor, für \pi, statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend 2\pi) als grundlegende Konstante zu verwenden. Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor 2 vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass \tau im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie \pi einen halben Winkel, wodurch \tau weniger willkürlich wirkt. Eine neu normierte Kreiszahl, für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben \tau (Tau) vorschlugen, würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann \tau = 2\pi \Leftrightarrow \pi = \frac{\tau}{2}.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.02. 2020