Größtes und kleinstes Element

Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie. Das größte Element wird auch als Maximum bezeichnet, dementsprechend spricht man beim kleinsten Element vom Minimum.

Ein Element einer geordneten Menge ist das größte Element der Menge, wenn alle anderen Elemente kleiner sind. Es ist das kleinste Element der Menge, wenn alle anderen Elemente größer sind. Weder das größte noch das kleinste Element einer Menge muss existieren, ist aber im Fall seiner Existenz jeweils bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.

Eine Maximumsfunktion liefert das größte ihrer Argumente als Wert, eine Minimumsfunktion liefert das kleinste ihrer Argumente.

Die Abkürzungen max und min sind gebräuchlich, seltener auch Max und Min.

Definitionen

(X,\leq ) sei eine Quasiordnung, M\subseteq X eine Teilmenge der Grundmenge X und x\in M.

x\ ist größtes Element von M\ :\Longleftrightarrow \forall y\in M:y\leq x
x\ ist kleinstes Element von M\ :\Longleftrightarrow \forall y\in M:x\leq y

Kleinste Elemente von M sind assoziiert, stehen also in beiden Richtungen in Relation: Falls x und y kleinstes Element von M sind, gilt {\displaystyle x\leq y\leq x}. Analoges ist zu größten Elementen zu sagen. Wenn \leq antisymmetrisch ist, folgt sofort, dass sowohl das größte als auch das kleinste Element (falls vorhanden) eindeutig bestimmt ist.

Ein größtes Element von  M wird auch Maximum von  M genannt, ein kleinstes Element Minimum. Die Notationen \max(M) und \min(M) werden gelegentlich verwendet. Man beachte jedoch, dass die Begriffe maximales Element und minimales Element nicht äquivalent sind, falls keine Totalordnung vorliegt.

Kleinste und größte Elemente von X selbst (falls sie existieren) werden manchmal mit 0 und 1 oder auch mit \bot und \top bezeichnet.

Eine Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, nennt man eine Wohlordnung.

Beispiele

Eigenschaften

Maximums- und Minimumsfunktionen

In einer totalen Ordnung (z.B. der gewöhnlichen Ordnung auf den reellen Zahlen) hat jede endliche nichtleere Menge ein Maximum und ein Minimum. Für n \ge 2 sind daher die Funktionswerte

{\displaystyle \max(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}

als Maximum bzw. Minimum von {\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\right\}} wohldefiniert.

Die höherstelligen Funktionen lassen sich rekursiv auf die zweistelligen zurückführen:

{\displaystyle \max(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\max(x_{1},\max(x_{2},\dotsc ,x_{n}))}
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\min(x_{1},\min(x_{2},\dotsc ,x_{n}))}

Im Bereich der reellen Zahlen können die zweistelligen Funktionen auch so angegeben werden:

{\displaystyle \max(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1}+x_{2}+|x_{1}-x_{2}|}{2}}}
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1}+x_{2}-|x_{1}-x_{2}|}{2}}}

Damit ist nachgewiesen, dass {\displaystyle \operatorname {max} } und {\displaystyle \operatorname {min} } stetige Funktionen sind, weil Summe, Differenz, Betrag, Quotient stetige Funktionen sind und Kompositionen von stetigen Funktionen ebenfalls stetig sind.

Aus den obigen Gleichungen wird auch schnell der Zusammenhang zwischen {\displaystyle \operatorname {max} }- und {\displaystyle \operatorname {min} }-Funktion klar:

{\displaystyle \max(x_{1},x_{2})=-\min(-x_{1},-x_{2})}

Anmerkungen

  1. Hat {\displaystyle (X,\leq )} kein größtes Element, dann lässt es sich ordnungserhaltend einbetten in {\displaystyle X\cup \{\infty \}} mit \infty als dem Supremum von X und von {\displaystyle X\cup \{\infty \}}.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.11. 2019