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Tangens und Kotangens

Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)
Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels x wird mit \tan x bezeichnet, der Kotangens des Winkels x mit \cot x . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen \operatorname {tg}x für den Tangens und {\displaystyle \operatorname {ctg} x} für den Kotangens.

Definition

Historisch/geometrisch

Definition am Einheitskreis:
\overline{DT} = \tan b\ ;\ \overline{EK} = \cot b

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

\overline{DT} = \tan b \qquad\qquad \overline{EK} = \cot b
Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels \alpha das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

{\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac  {l_{{\text{Gegenkathete}}}}{l_{{\text{Ankathete}}}}}={\frac  {a}{b}}={\frac  {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\\\cot \alpha &={\frac  {l_{{\text{Ankathete}}}}{l_{{\text{Gegenkathete}}}}}={\frac  {b}{a}}={\frac  {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\end{aligned}}

Daraus folgt unmittelbar:

\begin{align}
\cot\alpha &= \frac{1}{\tan\alpha}\\
\tan\alpha &= \frac{1}{\cot\alpha}
\end{align}

sowie

\tan\alpha = \cot\beta = \cot(90^\circ-\alpha).

Formal – mit Definitions- und Wertebereich

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

{\displaystyle \tan \colon D_{\tan }\to W,} mit \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}

definiert werden,[1] wobei der Wertebereich W je nach Anwendung die reellen \mathbb {R} oder die komplexen Zahlen {\displaystyle \mathbb {C} } sind. Um zu verhindern, dass der Nenner \cos x Null wird, werden beim Definitionsbereich {\displaystyle D_{\tan }} die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

{\displaystyle D_{\tan }=\mathbb {R} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}}

im Reellen bzw.

{\displaystyle D_{\tan }=\mathbb {C} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}}

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

{\displaystyle \cot \colon D_{\cot }\to W,} mit \cot x:=\frac{\cos x}{\sin x}

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

{\displaystyle D_{\cot }=\mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}}

im Reellen bzw.

{\displaystyle D_{\cot }=\mathbb {C} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}}

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner \sin x ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von \tan und \cot

{\displaystyle \mathbb {C} \setminus {\Big \{}{\frac {k\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}}

gilt

\cot x = \frac 1{\tan x}.

Eigenschaften

Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

Periodizität

Periodenlänge \pi (halbe Drehung): \tan(x+\pi) = \tan(x)

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

\tan(-x) = -\tan x \qquad\qquad \cot(-x) = -\cot x

Nullstellen

Tangens: x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}

Polstellen

Tangens: x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}

Wendestellen

Tangens: x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber keine Sprungstellen oder Extrema.

Wichtige Funktionswerte

Tangens Kotangens Ausdruck num. Wert
\tan0^\circ \cot90^\circ {\displaystyle 0} 0
\tan15^\circ \cot75^\circ 2 - \sqrt3 0,2679491…
{\displaystyle \tan 18^{\circ }} {\displaystyle \cot 72^{\circ }} \sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5} 0,3249196…
\tan22{,}5^\circ \cot67{,}5^\circ \sqrt2-1 0,4142135…
\tan30^\circ \cot60^\circ 1/\sqrt3 0,5773502…
{\displaystyle \tan 36^{\circ }} {\displaystyle \cot 54^{\circ }} \sqrt{5-2\sqrt5} 0,7265425…
\tan45^\circ \cot45^\circ 1 1
\tan60^\circ \cot30^\circ \sqrt3 1,7320508…
\tan67{,}5^\circ \cot22{,}5^\circ \sqrt2+1 2,4142135…
\tan75^\circ \cot15^\circ 2 + \sqrt3 3,7320508…
\lim_{\alpha \to 90^\circ} \tan\alpha \lim_{\alpha \to 0^\circ} \cot\alpha \pm\infty\, Polstelle

[2]

Umkehrfunktion

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens
 
{\displaystyle \tan \colon \left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R} }.

Ihre Umkehrfunktion

{\displaystyle \operatorname {arctan} \colon \mathbb {R} \to \,\left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[}

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens
 
{\displaystyle \cot \colon ]0,\,\pi [\to \mathbb {R} }.

Ihre Umkehrfunktion

{\displaystyle \operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to \,]0,\,\pi [}

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung

Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)
Tangens
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x=0 (Maclaurinsche Reihe) lautet für |x|<\frac{\pi}{2}
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\cdot 2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)\cdot B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+{\frac {1382}{155925}}x^{11}+\dotsb \end{aligned}}}

Dabei sind mit B_{n} die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens
Die Laurent-Reihe lautet für 0<|x|<\pi
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-{\frac {2}{93555}}x^{9}-\dotsb \end{aligned}}}

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z

\begin{align}
  \pi\cot\pi x &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right)\\
               &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}.
\end{align}

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cot x = -1 - \cot^2 x = -\frac1{\sin^2x}=- \csc^2 x

Die n-ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\tan x=\frac{\psi_n(\tfrac12+\tfrac{x}{\pi})-(-1)^n\,\psi_n(\tfrac12-\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{n+1}}
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\cot x=\frac{(-1)^n\,\psi_n(1-\tfrac{x}{\pi})-\psi_n(\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{n+1}}

Stammfunktionen

Tangens
 
{\displaystyle \int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln |{\cos x}|+C}    mit   {\displaystyle x\neq (2k+1){\frac {\pi }{2}}}    (k \in \mathbb{Z}).
Kotangens
 
{\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sin x}|+C}    mit   {\displaystyle x\neq k\pi }    (k \in \mathbb{Z}) .

Komplexes Argument

\tan(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}
  mit x,y \in \mathbb{R}
\cot(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-\sin(2x)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}
  mit x,y \in \mathbb{R}

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

\tan(x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y}\,, \qquad \cot(x \pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}\,,\qquad\cot(2x)=\frac{\cot^{2}x-1}{2\cot x}

Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens

Die Auflösung der bereits aus dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitäten

{\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}x}}=1+\cot ^{2}x}
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}

nach \sin x bzw. \cos x ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten zunächst einmal Einfaches:

{\displaystyle \sin x={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}}} für {\displaystyle 0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}} für {\displaystyle 0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}}}

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz \mathbb {R} lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion {\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor } oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:

{\displaystyle \sin x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}\;={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;2k\pi <x<(2k+1)\pi \\{\frac {-1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(2k-1)\pi <x<2k\pi \\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=k\pi \end{cases}}}


{\displaystyle \cos x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\tan ^{2}t}}}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k-1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+1){\frac {\pi }{2}}\\{\frac {-1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k+1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+3){\frac {\pi }{2}}\\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=(2k+1){\frac {\pi }{2}}\end{cases}}}

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist t=\tan\frac\alpha2, so ist

\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}.

Insbesondere ist

\R\to\R^2,\quad t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes (-1,0) (der dem Parameter t=\infty entspricht). Einem Parameterwert t entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von (-1,0) und (1,2t) mit dem Einheitskreis (s.a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Beispiel für eine Steigung

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion

f\colon\R\to\R,\;x\mapsto mx + c

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels \alpha zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung m der Geraden, d.h. m = \tan\,\alpha. Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

Anwendung in der Physik

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form \dot{v} = -g - k v^2 mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0. Dann ergibt sich:

v(t)=v_{g}\cdot \cot({\sqrt  {gk}}t+c)\quad {\text{mit}}\quad c=\operatorname {arccot}\left({\frac  {v(0)}{v_{g}}}\right)>0,

wobei v_g = \sqrt{\frac{g}{k}} die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

v(t)=-v_{g}\cdot \tan \left({\sqrt  {gk}}t-c'\right)\quad {\text{mit}}\quad c'=\arctan \left({\frac  {v(0)}{v_{g}}}\right)>0.

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn v = 0 ist, das heißt für t = \frac{\pi/2 - c}{\sqrt{gk}} = \frac{c'}{\sqrt{gk}}), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

w' = 1+w^2.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

w' = 1+w^2= (w+\mathrm i)(w-\mathrm i)

mit der imaginären Einheit \mathrm {i} . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte \mathrm {i} , -\mathrm i: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen \mathrm {i} und -\mathrm i Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
  2. Für den größten gemeinsamen Teiler {\displaystyle 1{,}5^{\circ }={\frac {\pi }{120}}} dieser Winkel ist
    {\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}}
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.06. 2019