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Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die einer reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol \left[x\right] für die Abrundungsfunktion 1808 einführte. Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen \operatorname {floor} (x) und \lfloor x\rfloor (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie \operatorname {ceil} (x) und \lceil x\rceil (engl. ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion. Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation. Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lfloor x\rfloor die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist:
\lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}

Beispiele

Man beachte, dass \lfloor -2{,}8\rfloor nicht etwa gleich -2 ist. Die Definition verlangt ja \lfloor x\rfloor \leq x, und es ist -2>-2{,}8.

Eigenschaften

\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor .
Daraus folgt direkt, dass, falls m\neq 0,
\left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor .
Ferner gilt auch
\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {m-n+1}{n}}\right\rceil .

Aufrundungsfunktion

Aufrundungsfunktion

Definition

Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lceil x\rceil die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist.
\lceil x\rceil :=\min\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq x\}

Beispiele

Eigenschaften

\lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil
\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .
Daraus folgt direkt, dass, falls m\neq 0,
\left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .

Allgemeine Eigenschaften

Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt für positive Zahlen:

x=\operatorname {floor} (x)+\operatorname {frac} (x)
Die Funktion {\displaystyle \operatorname {frac} (x)} liefert dabei den Nachkommaanteil mit {\displaystyle 0\leq \operatorname {frac} (x)<1}.

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

\lceil x\rceil +\lfloor -x\rfloor =0
Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor
\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {k}{2}}\right\rceil =k

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür unabhängig vom Vorzeichen des Arguments, die Funktion

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.07. 2019