Rechtwinkliges Dreieck

Dreieck mit dem rechten Winkel $\gamma$ und der Ankathete und der Gegenkathete von $\alpha$

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel.

Bezeichnungen

Als Hypotenuse^[1] bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze $\alpha$ ) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

Sätze

Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird. (Der Satz lautet: Sind und die Seitenlängen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ). Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Der Kosinus von $90^{\circ }$ ist 0, wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht.

Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Kathetensatz und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras). Die Höhe $h=h_{c}$ eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Teile und , sodass die beiden Teildreiecke mit den Seiten , , und , , wiederum rechtwinklig sind. Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben (, , , , und ) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in folgender Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Satz des Pythagoras	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Kathetensatz	$a^{2}=c\cdot p$
Kathetensatz	$b^{2}=c\cdot q$
Höhensatz	$h^{2}=p\cdot q$

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck am Halbkreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

Die trigonometrischen Funktionen beschreiben die rechnerischen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen.

Berechnung und Konstruktion

Konstruktion SWW-Fall, gegeben sind Hypotenuse und Winkel $\beta$

SSS-Fall: kleinster Tripel: $(3,4,5)$

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke vollständig bestimmt: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel.

Sind beide Katheten gegeben, so lässt sich das Dreieck nach dem SWS-Fall behandeln.

Die Kathete

senkrecht auf die Kathete anordnen. Der Abstand |AB|

ergibt die fehlende Hypotenuse und somit das Dreieck ABC

Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben, so wird der SSW-Fall angewandt.

Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt den Thaleskreis ziehen. Ist z.B. die Kathete

gegeben, schneidet der Kreisbogen um mit dem Radius

den Thaleskreis in . Die Verbindung mit vollendet das Dreieck ABC

Sind eine Seite und ein nicht-rechter Winkel gegeben, so lässt sich über die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen. Danach kann man das Dreieck nach dem WSW- bzw. SWW-Fall behandeln.

Ist z.B. die Kathete und der Winkel $\beta$ gegeben (WSW-Fall), wird ab eine gerade Linie gezogen, die mit der Kathete den Winkel $\beta$ bildet. Die abschließende Senkrechte auf ab schneidet die gerade Linie in und erzeugt somit das Dreieck ABC

Ist z.B., wie im nebenstehenden Bild zu sehen, die Hypotenuse und der Winkel $\beta$ gegeben (SWW-Fall), wird halbiert und über den Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Beim Festlegen des Winkels $\beta$ mit Scheitel ergibt sich auf dem Thaleskreis und damit die Kathete . Die Verbindung mit liefert die Kathete

und vollendet somit das rechtwinklige Dreieck ABC

Stehen im SSS-Fall die Seiten zueinander im Verhältnis gleich dem eines pythagoreischen Tripels, beispielsweise $(3,4,5)$ , ist das Dreieck rechtwinklig.

Im rechtwinkligen Dreieck sind die Höhen $h_{a}$ und $h_{b}$ jeweils gleich den Katheten bzw. .

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck
Flächeninhalt	${\begin{aligned}A&={\frac {a\cdot b}{2}},\\A&=\rho \cdot (\rho +2\cdot r)\end{aligned}}$
Hypotenuse	${\begin{aligned}c&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\c&={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\c&={\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}c&={\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\cos(\alpha )}},\\c&={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {a}{\cos(\beta )}}\end{aligned}}$
Kathete	${\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}},\\a&={\frac {b\cdot h_{c}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}},\\a&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c-{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a&=c\cdot \sin(\alpha )=c\cdot \cos(\beta ),\\a&=b\cdot \tan(\alpha )=b\cdot \cot(\beta )\end{aligned}}$
Kathete	${\begin{aligned}b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}},\\b&={\frac {a\cdot h_{c}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\b&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c+{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}b&=c\cdot \cos(\alpha )=c\cdot \sin(\beta ),\\b&=a\cdot \cot(\alpha )=a\cdot \tan(\beta )\end{aligned}}$
Umfang	${\begin{aligned}U&=a+b+c,\\U&=2\cdot \rho +4\cdot r\end{aligned}}$
Höhe	${\begin{aligned}h_{c}&={\frac {a\cdot b}{c}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{c}&=b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \cos(\alpha ),\\h_{c}&=a\cdot \sin(\beta )=b\cdot \cos(\beta )\end{aligned}}$
Winkel	$\alpha+\beta=\gamma=90^\circ$	${\begin{aligned}\alpha &=\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right),\\\alpha &=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)\end{aligned}}$
Winkel	$\alpha+\beta=\gamma=90^\circ$	${\begin{aligned}\beta &=\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right),\\\beta &=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)\end{aligned}}$
Inkreisradius	$\rho ={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}$
Umkreisradius	$r={\frac {c}{2}}$

Ungleichungen

Für die Katheten und gilt $(a-b)^{2}\geq 0$ , also $a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b$ . Addition von $a^{2}+b^{2}$ ergibt $2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}\geq a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$ , also $2\cdot (a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$ . Nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus $c^{2}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{2}}$ und die Ungleichungen

$c\geq {\frac {a+b}{\sqrt {2}}}\geq {\sqrt {2\cdot a\cdot b}}$

Die rechte Ungleichung ist ein Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Division von $4\cdot a\cdot b\leq (a+b)^{2}$ durch die linke Ungleichung ergibt ${\frac {4\cdot a\cdot b}{c}}\leq {\sqrt {2}}\cdot (a+b)$ . Wegen $h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}$ folgt daraus

$h_{c}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$

Aus $c^{2}=a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b$ folgt wegen a>0 , b > 0 , c > 0 für die Kehrwerte ${\frac {1}{c^{2}}}\leq {\frac {1}{2\cdot a\cdot b}}$ , also ${\frac {1}{c}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}$ . Multiplikation mit $a\cdot b$ auf beiden Seiten ergibt ${\frac {a\cdot b}{c}}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}$ . Wegen $h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}$ folgen daraus die genaueren Ungleichungen

$h_{c}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$

Die Gleichungen $c={\frac {a+b}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2\cdot a\cdot b}}$ und $h_{c}={\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}={\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$ gelten genau dann, wenn a=b , also für ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln $45^{\circ }$ , $45^{\circ }$ und $90^{\circ }$ .

Ausgezeichnete Punkte

Wie aus dem Bild ersichtlich, liegt von den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck, der Höhenschnittpunkt (hellbraun) direkt im Scheitel des rechten Winkles, Eckpunkt , und der Umkreismittelpunkt (hellgrün) in der Mitte der Dreieckseite Der Schwerpunkt (dunkelblau) sowie der Inkreismittelpunkt (rot) sind innerhalb des Dreiecks.

Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises (beides hellblau) ist in der Mitte der Strecke ${\overline {HU}}$ und ebenfalls innerhalb des Dreiecks. Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte, von denen aber, aufgrund der Position des Höhenschnittpunktes nur fünf zu sehen sind. Es sind dies die Seitenmittelpunkte $J,M$ und sowie die Höhenfußpunkte und Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Höhenabschnitte, nämlich und liegen auf den Seitenmittelpunkten bzw. Der dazugehörende dritte Mittelpunkt liegt auf dem Scheitelpunkt Schließlich findet man den dritten Höhenfußpunkt auf dem Höhenschnittpunkt

Die Bezeichnungen der ausgezeichneten Punkte und deren Positionen sind mit denen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar.

Die Punkte , , und befinden sich, wie bei allen Dreiecken, auf der Eulerschen Gerade (rot).

Rechtwinkliges Dreieck mit den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten , , und darüber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises mit dessen neun ausgezeichneten Punkten (davon nur fünf sichtbar) und der Eulerschen Geraden

Satz von Eddy

Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert, „ist aber sicher schon sehr viel älter“.

Bild 2: Beweis durch Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)

Bild 1: Beweis durch Symmetrie

„Die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Flächen.“

Es sei ein beliebiges Dreieck ABC mit der Hypotenuse dem Hypotenusenquadrat $c^{2}$ und mit der Winkelhalbierenden $wh$ des rechten Winkels am Scheitel Die Winkelhalbierende $wh$ schneidet im Punkt sowie im Punkt das Hypotenusenquadrat $c^{2}$ in zwei Vierecke $ADGF$ und $GEBF.$

Beweise

A) Beweis durch Symmetrie, Bild 1, gleichermaßen der Geometrischer Beweis durch Ergänzung für den Satz des Pythagoras.

B) Ansatz für einen alternativen Beweis, Bild 2:

Die beiden Dreiecke $IFM$ und $IGJ$ müssen kongruent sein.
Dies trifft nur zu, wenn die Winkelhalbierende $wh$ durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}$ verläuft.

Zuerst wird der Mittelpunkt der Hypotenuse bestimmt, anschließend der Kreis $k_{1}$ mit dem Radius ${\overline {MB}}$ um eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers ${\overline {AB}}$ mit den soeben erzeugten Schnittpunkten und eingetragen. Der Schnittpunkt entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}.$ Abschließend noch den Punkt mit verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck $AIC$ hat am Scheitel den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich $90^{\circ }.$ Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel $ACI$ folglich die Winkelweite $45^{\circ },$ damit verläuft die Winkelhalbierende $wh$ ebenfalls durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}.$

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke $IFM$ und $IGJ$ sind kongruent, demzufolge haben auch die Vierecke $ADGF$ und $GEBF$ gleiche Flächeninhalte.

Siehe auch

Anmerkungen

↑ Die Bezeichnung „Hypotenuse“ kommt von dem gleichbedeutenden, altgriechischen Begriff ὑποτείνουσα, hypoteinousa, der von: hypo – unter und teinein – spannen, sich erstrecken abgeleitet ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de