Pythagoreisches Tripel

Kleinstes Tripel: {\displaystyle (3,\ 4,\ 5)}

In der Zahlentheorie wird ein pythagoreisches Tripel oder pythagoreisches Zahlentripel von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen können. Mit den Seitenlängen eines solchen Dreiecks kann auf einfache Weise ein rechter Winkel konstruiert werden, beispielsweise mit dem kleinsten Tripel {\displaystyle (3,\ 4,\ 5)}. Wegen des pythagoreischen Lehrsatzes sind diese Tripel genau die positiven ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Wenn a, b und c außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel.

Geschichte

Die Tontafel Plimpton 322

Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.Chr.). Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel, u.a. (56,90,106), (119, 120, 169) und (12709, 13500, 18541), was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln nur aus einem demotischen Papyrus des 3. Jahrhunderts v.Chr. bekannt, doch wurde auch die Verwendung insbesondere der Tripel {\displaystyle (3,\ 4,\ 5)} und {\displaystyle (20,\ 21,\ 29)} für Böschungswinkel bei einigen Pyramiden aus einer Zeit rund zweitausend Jahre vor dem erwähnten Papyrus diskutiert.

Das indische Baudhayana-Sulbasutra aus dem 6. Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.

Pythagoreische Tripel wurden bei den Griechen von Euklid, nach dem Kommentar von Proklos zu Euklids Elementen von Pythagoras und Platon behandelt und später von Diophant.

Beispiele

Erzeugung der pythagoreischen Tripel

Pythagoreische Tripel im kartesischen Koordinatensystem mit x und y von 1 bis 2500. Die deutlich dunklen Linien markieren Tripel der Form {\displaystyle (3n,\ 4n,\ 5n).} Die Symmetrie zur 45°-Achse ist eine Folge des Kommutativgesetzes.

Die drei Formeln

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}
{\displaystyle b=2\;\!mn}
{\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}

liefern für beliebige {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,m>n>0} ein pythagoreisches Tripel {\displaystyle (a,\ b,\ c)}. Es ist genau dann primitiv, wenn m und n teilerfremd und nicht beide ungerade sind.

Diese Formeln wurden von Euklid angegeben (Elemente, Buch 10, Proposition 29, Lemma 1). Sie werden manchmal indische Formeln genannt, da sie explizit auch vom indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) knapp 900 Jahre später angegeben wurden. Möglicherweise waren sie auch den Babyloniern bekannt bei ihrer Erstellung pythagoreischer Tripel, denn die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der babylonischen Multiplikationsformel

{\displaystyle k\cdot l={\left({\frac {k+l}{2}}\right)\!}^{2}-{\left({\frac {k-l}{2}}\right)\!}^{2},}

wenn man {\displaystyle k=m^{2}} und {\displaystyle l=n^{2}} setzt und mit 2^{2} multipliziert: {\displaystyle \quad (2\;\!mn)^{2}=\left(m^{2}+n^{2}\right)^{2}-\left(m^{2}-n^{2}\right)^{2}}.

Umgekehrt lässt sich jedes primitive pythagoreische Tripel {\displaystyle (a,\ b,\ c)} mit Hilfe dieser Formeln aus teilerfremden {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } erzeugen.

Jedes pythagoreische Tripel (A, B, C) kann aus einem primitiven pythagoreischen Tripel (a, b, c) durch {\displaystyle (A,B,C)=(Na,Nb,Nc)} berechnet werden. Die natürliche Zahl N ist der größte gemeinsame Teiler von {\displaystyle A,\ B,\ C} und damit eindeutig bestimmt.

Beispiele:

Die Verbindung der von B. Berggren (1934) und von A. Hall (1970) bekannten Baumstruktur der primitiven pythagoreischen Tripel mit der modularen Gruppe untersuchte R. C. Alperin (2005). Sämtliche primitiven pythagoreischen Tripel lassen sich über sieben verschiedene Lineartransformationen, jeweils ausgehend von {\displaystyle (3,4,5)}, in (bis auf die Anordnung) genau drei verschiedenen ternären Wurzelbäumen erzeugen, wie Firstov allgemein bewies. Genau ein Wurzelbaum hat mit einem anderen jeweils eine Lineartransformation gemeinsam, eine davon erzeugt bspw. alle (primitiven) pythagoreischen Tripel {\displaystyle (x,\ y,\ y+1)}, auch alle mit einer beliebigen ungeraden Primzahl x, und der von Price entdeckte andere Wurzelbaum die beiden (gemischten) Darstellungen {\displaystyle (p'q',\ 2pq,\ pq'+qp')} und {\displaystyle (p'q',\ 2pq,\ pq'-qp')} der primitiven Tripel mit ungeradem {\displaystyle q}, einem dazu teilerfremden q' und {\displaystyle p=q'+q,\ p'=q+p}.

Herleitung der Formel zur Bildung der pythagoreischen Tripel

Ist (a,b,c) ein pythagoreisches Tripel, so ergibt die Division der zugehörigen Gleichung a^{2}+b^{2}=c^{2} durch c^{2}

{\displaystyle \left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1}.

Die Zahlen {\displaystyle x:={\tfrac {a}{c}}} und {\displaystyle y:={\tfrac {b}{c}}} sind rational und positiv und erfüllen die Koordinatengleichung des Einheitskreises

x^{2}+y^{2}=1.

Also ist (x,y) ein Punkt mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis. Die Gerade durch die Punkte (-1,0) und (x,y) schneidet die y-Achse in einem Punkt (0,t), wobei t die Steigung dieser Geraden ist, für die gilt:

{\displaystyle t={\frac {y}{x+1}}}

Daher ist t eine rationale Zahl.

Eliminiert man y aus dieser Gleichung und der des Einheitskreises, erhält man mit

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+t^{2}(x+1)^{2}&=1\\(x^{2}-1)+t^{2}(x+1)^{2}&=0\\(x+1)\left[(x-1)+t^{2}(x+1)\right]&=0\end{aligned}}}

eine Bestimmungsgleichung für x.

Wegen x>0 gilt {\displaystyle x+1\neq 0}, sodass man beide Seiten durch (x+1) dividieren darf:

{\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)+t^{2}(x+1)&=0\\x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&=t\cdot (x+1)=t\cdot \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}+1\right)={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}

Damit haben wir also

{\displaystyle (x,y)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}

oder, weil man {\displaystyle t={\tfrac {v}{u}}} mit teilerfremden natürlichen Zahlen u,v setzen kann:

{\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)=\left({\frac {1-{\frac {v^{2}}{u^{2}}}}{1+{\frac {v^{2}}{u^{2}}}}},{\frac {\frac {2v}{u}}{1+{\frac {v^{2}}{u^{2}}}}}\right)=\left({\frac {u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}},{\frac {2uv}{u^{2}+v^{2}}}\right)}

Dies ergibt das pythagoreische Tripel

{\displaystyle (a,b,c)=(u^{2}-v^{2},2uv,u^{2}+v^{2}).}

Es kann vorkommen, dass {\displaystyle u^{2}-v^{2}}, 2uv und {\displaystyle u^{2}+v^{2}} einen gemeinsamen Teiler N > 1 haben. Aus {\displaystyle u=3,\ v=1} würde beispielsweise {\displaystyle a=8,\ b=6,\ c=10} folgen.

Als einzige Möglichkeit hierfür kommt jedoch N=2 in Betracht. Denn angenommen, eine ungerade Primzahl p teilte sowohl u^{2}-v^{2} als auch u^{2}+v^{2}, so wäre

{\displaystyle v^{2}\equiv u^{2}{\pmod {p}}} und {\displaystyle v^{2}\equiv -u^{2}{\pmod {p}},}

woraus man, weil p prim und 2 teilerfremd zu p ist, so weiter schließen kann:

{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&\equiv -u^{2}{\pmod {p}}\\2u^{2}&\equiv 0\quad \ {\pmod {p}}\\u^{2}&\equiv 0\quad \ {\pmod {p}}\\u&\equiv 0\quad \ {\pmod {p}}\\\end{aligned}}}

Die ungerade Primzahl p teilt also u und wegen {\displaystyle v^{2}\equiv u^{2}{\pmod {p}}} auch v. Das steht jedoch in Widerspruch zur Teilerfremdheit von u und v, sodass p nicht ungerade sein kann. Also bleibt nur N=2, was mit {\displaystyle u\equiv v\equiv 1{\pmod {2}}} offenbar auch tatsächlich möglich und immer der Fall ist.

Man kann solche u,v, die teilerfremd und beide ungerade sind, jedoch aussortieren, ohne primitive pythagoreische Tripel zu verlieren. Denn, wenn u und v das Tripel (2a,2b,2c) ergeben, so ergeben {\displaystyle u'=(u+v)/2} und {\displaystyle v'=(u-v)/2} das Tripel (b,a,c). Dabei sind u',v' teilerfremd und nicht beide ungerade.

Weitere Formeln für pythagoreische Tripel

Aus der Antike stammen nach Proklos die Formeln von Pythagoras und Plato.

Pythagoras gibt die Seitenlängen

{\displaystyle a=k,\ b={\frac {k^{2}-1}{2}},\ c={\frac {k^{2}+1}{2}}}

für ungerades k\geq 3 an. Plato gibt die Seitenlängen

{\displaystyle a=l,\ b={\left({\frac {l}{2}}\right)}^{\!2}\!\!-1,\ c={\left({\frac {l}{2}}\right)}^{\!2}\!\!+1}

für gerade {\displaystyle l\geq 4} an.

Setzt man {\displaystyle k=2n+1} mit {\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }, ergibt die Formel von Pythagoras

{\displaystyle (2n+1,\ 2n^{2}+2n,\ 2n^{2}+2n+1)}.

Die Formel für Plato ergibt für {\displaystyle l=2n} mit {\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }

{\displaystyle (2n,\ n^{2}-1,\ n^{2}+1)}.

Primitive pythagoreische Tripel

Primitive pythagoreischen Tripel {\displaystyle (a,\ b,\ c)} sind solche, für die a,b und c keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben (diese drei Zahlen sind dann auch paarweise teilerfremd).

Beispiele primitiver pythagoreischer Tripel

Nach den Euklidischen Regeln erhält man als primitive pythagoreische Tripel zum Beispiel (aufsteigend geordnet nach m+n und bei Gleichheit dann nach der kleineren Zahl n):

m n   a b c   m n   a b c
2 1 3 4 5 7 2 45 28 53
4 1 15 8 17 5 4 9 40 41
3 2 5 12 13 10 1 99 20 101
6 1 35 12 37 9 2 77 36 85
5 2 21 20 29 8 3 55 48 73
4 3 7 24 25 7 4 33 56 65
8 1 63 16 65 6 5 11 60 61

Die primitiven pythagoreischen Tripel mit {\displaystyle c<300} (aufsteigend geordnet nach der größten der drei Zahlen und bei Gleichheit dann nach der kleinsten) sind:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Bemerkenswertes

Zwei Folgen von pythagoreischen Tripeln sind noch bemerkenswert:

{\displaystyle (3,4,5),\;(5,12,13),\;(7,24,25),\;(9,40,41),\;(11,60,61),\;(13,84,85),\;\dotsc ,\;(2k+1,\ 2k^{2}+2k,\ 2k^{2}+2k+1),\ \dotsc }
für jede Zahl k ein Tripel, das die ungerade Zahl 2k+1 (als kleinste Zahl) enthält und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau 1 unterscheiden.
Der Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks mit diesen Seitenlängen beträgt {\displaystyle s=2n^{2}+3n+1}.
{\displaystyle (3,4,5),\;(15,8,17),\;(35,12,37),\;(63,16,65),\;(99,20,101),\;(143,24,145),\;\dotsc ,(4k^{2}-1,\ 4k,\ 4k^{2}+1),\ \dotsc }
für die durch 4 teilbare Zahl 4k ein Tripel, das 4k (als kleinste Zahl, außer für k=1, dort ist es die mittlere Zahl) enthält und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau 2 unterscheiden.
Der Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks mit diesen Seitenlängen beträgt {\displaystyle s=4n^{2}+2n}.

Auch in dem noch fehlenden Fall {\displaystyle 2\cdot (2n+1)} des Doppelten einer ungeraden Zahl findet man leicht immer ein (natürlich nicht primitives) pythagoreisches Tripel, indem man die Lösungen der ersten Folge einfach zu {\displaystyle (4n+2,4n^{2}+4n,4n^{2}+4n+2)} verdoppelt. Somit kann man zu jeder natürlichen Zahl {\displaystyle x>2} ein Zahlenpaar (b,c) finden, mit dem sich x zu einem pythagoreischen Tripel {\displaystyle (x,\ y,\ z)} ergänzen lässt – bei ungeradem a mit der Differenz 1, bei geradem a mit Differenz 2:

a b c   a b c   a b c
3 4 5 11 60 61 19 180 181
4 3 5 12 35 37 20 99 101
5 12 13 13 84 85 21 220 221
*6 8 10 *14 48 50 *22 120 122
7 24 25 15 112 113 23 264 265
8 15 17 16 63 65 24 143 145
9 40 41 17 144 145 25 312 313
*10 24 26 *18 80 82 *26 168 170

Mit * sind nichtprimitive Tripel markiert. Diese Fälle für {\displaystyle a=4n+2} sind redundant, da sie auch durch Verdoppelung von {\displaystyle a=2n+1} entstehen.

Alternative Formel zur Erzeugung primitiver pythagoreischer Tripel

Die babylonischen Multiplikationsformel

{\displaystyle a=kl}
{\displaystyle b={\frac {k^{2}-l^{2}}{2}}}
{\displaystyle c={\frac {k^{2}+l^{2}}{2}}}

liefern für teilerfremde ungerade {\displaystyle k,l\in \mathbb {N} } mit {\displaystyle k>l} ein primitives pythagoreisches Tripel.

Höhe primitiver pythagoreischer Tripel

Primitive pythagoreische Tripel {\displaystyle ((1+2i)(1+2j),2(i-j)(1+i+j),(i-j)^{2}+(1+i+j)^{2})} mit {\displaystyle i,j\in \mathbb {N} _{0},i>j,ggT(i-j,1+i+j)=1} haben (zur Hypotenuse) stets eine unkürzbare Höhe

{\displaystyle h={\frac {2(1+2i)(1+2j)}{{\frac {i-j}{1+i+j}}+{\frac {1+i+j}{i-j}}}}}.

Verallgemeinerung auf pythagoreische (N + 1)-Tupel

Pythagoreische Tripel können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf einem Kreis mit ganzzahligem Radius aufgefasst werden. Diese Idee lässt sich auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern derart, dass ein pythagoreisches {\displaystyle (N+1)}-Tupel einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf einer N-dimensionalen Hypersphäre mit ganzzahligem Radius darstellt.

Alle diese {\displaystyle (N+1)}-Tupel sind Lösungen der diophantischen Gleichung {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N}x_{k}^{2}=r^{2}}, wobei r den Radius bezeichnet. Für jedes N > 1 sind für alle N-Tupel ganzer Zahlen unendlich viele Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Identität gegeben:

{\displaystyle \forall (z_{1},z_{2},\dotsc ,z_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}\exists (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}\colon \sum _{k=1}^{N}x_{k}^{2}=r^{2},r\in \mathbb {N} }
mit {\displaystyle x_{N}=z_{N}^{2}-\sum _{k=1}^{N-1}z_{k}^{2}} sowie {\displaystyle x_{k}=2z_{N}z_{k}} für alle {\displaystyle k<N}.

Damit ergibt sich r als Summe von Quadraten ganzer Zahlen und somit als natürliche Zahl zu {\displaystyle \textstyle r=\sum _{k=1}^{N}z_{k}^{2}}. Der Beweis erfolgt direkt durch Einsetzen und Vereinfachen:

Beweis der Identität

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}x_{k}^{2}&=\sum _{k=1}^{N-1}(2z_{N}z_{k})^{2}+\left(z_{N}^{2}-\sum _{k=1}^{N-1}z_{k}^{2}\right)^{2}\\&=\sum _{k=1}^{N-1}(2z_{N}z_{k})^{2}+\sum _{k=1}^{N}z_{k}^{4}+\sum _{k\neq j}^{N-1}\sum _{j=1}^{N-1}z_{k}^{2}z_{j}^{2}-2\sum _{j=1}^{N-1}z_{N}^{2}z_{j}^{2}\\&=\sum _{k=1}^{N}z_{k}^{4}+\sum _{k\neq j}^{N-1}\sum _{j=1}^{N-1}z_{k}^{2}z_{j}^{2}+2\sum _{j=1}^{N-1}z_{N}^{2}z_{j}^{2}\\&=\left(z_{N}^{2}+\sum _{k=1}^{N-1}z_{k}^{2}\right)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{N}z_{k}^{2}\right)^{2}\quad \square \\\end{aligned}}}

Dies stimmt offensichtlich mit der rechten Seite der Gleichung überein, womit die Gültigkeit der Identität für alle {\displaystyle (N+1)}-Tupel ganzer Zahlen gezeigt ist.

Alternativer Beweis

Eine bequemere Notation des Sachverhaltes und eine Formulierung als Satz ergibt sich durch Betrachtung der folgenden Abbildung:

Seien {\displaystyle z\in \mathbb {Z} ^{N}} sowie {\displaystyle Q\in \mathbb {Z} ^{N\times N}} mit {\displaystyle Q(z):=2z_{N}I_{N}-e_{N}\cdot z^{T}}, wobei {\displaystyle z_{N}} die N-te Komponente von z, {\displaystyle I_{N}} die N\times N-Einheitsmatrix und {\displaystyle e_{N}\cdot z^{T}} das dyadische Produkt des N-ten kanonischen Einheitsvektors mit dem Vektor z bezeichnen. Dann gilt:

{\displaystyle \forall z\in \mathbb {Z} ^{N}\colon Q(z)\cdot z\in \{q\in \mathbb {Z^{N}} \mid \|q\|\in \mathbb {N} \}}

Anschaulich handelt es sich hierbei um eine Abbildung, die jeden Gitterpunkt eines kartesischen Gitters auf einen weiteren solchen Gitterpunkt – mit der Eigenschaft, ganzzahligen euklidischen Abstand zum Ursprung zu haben – abbildet.

Der Beweis erfolgt auch hier durch einfaches Ausrechnen:

{\displaystyle {\begin{aligned}Q(z)\cdot z&=\left(2z_{N}I_{N}-e_{N}\cdot z^{T}\right)\cdot z\\&=\left(\left({\begin{smallmatrix}2z_{N}&0&0&\ldots &0\\0&2z_{N}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &2z_{N}\end{smallmatrix}}\right)-\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&\ldots &0\\0&0&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}&z_{2}&z_{3}&\ldots &z_{N}\end{smallmatrix}}\right)\right)\cdot z\\&=\left({\begin{smallmatrix}2z_{N}&0&0&\ldots &0\\0&2z_{N}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-z_{1}&-z_{2}&-z_{3}&\ldots &z_{N}\end{smallmatrix}}\right)\cdot z\\&=\left(2z_{N}z_{1},2z_{N}z_{2},\dotsc ,2z_{N}z_{N-1},z_{N}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-\dotsb -z_{N-1}^{2}\right)\quad \square \end{aligned}}}

Das entspricht gerade der zuvor bewiesenen Identität.

Anzahl der Lösungen

Die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N}x_{k}^{2}=r^{2}} hängt sowohl von N als auch von r ab. Für N=3 und N=4 kann die Anzahl der Lösungen für {\displaystyle r\leq 10} der folgenden Tabelle entnommen werden. Dabei bezeichnet {\displaystyle R_{N}(r)} die Anzahl der Lösungen in N Dimensionen für den Abstand r und {\displaystyle Z_{N}(r)} die Gesamtanzahl aller Lösungen mit Abstand \leq r, es gilt also: {\displaystyle \textstyle Z_{N}(r)=\sum _{k=1}^{r}R_{N}(k)}

r 1 02 003 004 005 006 0007 0008 0009 0010 Folge in der OEIS
{\displaystyle R_{3}(r)} 6 06 030 006 030 030 0054 0006 0102 0030 OEIS:A267651
{\displaystyle R_{4}(r)} 8 24 104 024 248 312 0456 0024 0968 0744 OEIS:A267326
{\displaystyle Z_{3}(r)} 6 12 042 048 078 108 0162 0168 0270 0300 OEIS:A267309
{\displaystyle Z_{4}(r)} 8 32 136 160 408 720 1176 1200 2168 2912 OEIS:A264390

Die Einträge in der Folge {\displaystyle R_{N}(r)} sind durch {\displaystyle 2N} teilbar. Danny Rorabaugh hat dies am Beispiel {\displaystyle R_{3}(r)} gezeigt.[Folge A267651 in OEIS] Der Beweis lässt sich problemlos auf alle N verallgemeinern.

Gilt {\displaystyle R_{N}(r)=2N}, so besitzt die diophantische Gleichung {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N}x_{k}^{2}=r^{2}} nur triviale Lösungen der Form {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N-1}0^{2}+r^{2}=r^{2}}. Interessanterweise muss {\displaystyle N\geq 4} gelten, damit für alle r>1 eine nichttriviale Lösung existiert. Dies folgt unmittelbar aus dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, wonach jede natürliche Zahl (und damit auch jede Quadratzahl) als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellbar ist, und der Tatsache, dass die einzige Darstellung 2^{2} als Summe von Quadratzahlen durch {\displaystyle 2^{2}=1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}} gegeben ist.

Spezielle Tripel

(3,4,5) ist das kleinste Beispiel eines Pythagoreischen Tripels (x, x+1, z), bei dem sich die Katheten um 1 unterscheiden. Weitere pythagoreische Zwillingstripel sind (20, 21, 29), (119, 120, 169) und die mit x=696, 4059, 23660, 137903, 803760 beginnenden Tripel Schon A. Girard waren im 17. Jahrhundert 14 solcher Tripel bekannt, das höchste mit x=31509019100. Es gibt unendlich viele solcher Tripel, wie Pierre de Fermat zeigte, denn mit (x,x+1, z) ist auch (X, X+1, Z) mit X=2z+3x+1 ein solches Tripel. Eine weitere Formel ergibt sich aus der Standardform {\displaystyle (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})} über {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2mn\pm 1} und Einsetzen von {\displaystyle m=x+y}, {\displaystyle n=y} als Lösung der Pell-Gleichung {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}. Es gibt noch weitere Bestimmungsmethoden. Sind m, n die Generatoren eines solchen Tripels in der oben angegebenen Standardform, so sind (2m+n, m) Generatoren eines weiteren Tripels. Aufeinanderfolgenden Werte {\displaystyle m_{r},n_{r}} erhält man über {\displaystyle n_{r}=2n_{r-1}+n_{r-2}} und es gilt {\displaystyle m_{r}=n_{r+1}}. Werden die Katheterlängen x_{r} der Lösungen nach Größe geordnet, so ist {\displaystyle x_{r}=6x_{r-1}-x_{r-2}+2} und {\displaystyle z_{r}=6z_{r-1}+z_{r-2}}. Es gibt auch explizite Formeln für {\displaystyle x_{r},z_{r}}. Außerdem gibt es unendlich viele Zwillingstripel, bei denen sich eine Seite und die Hypotenuse um 1 unterscheidet wie (3,4,5), (7, 24, 25),(9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15, 112, 113).

Zusammenhang mit den heronischen Dreiecken

Jedes zu einem pythagoreischen Tripel gehörige Dreieck ist ein heronisches Dreieck, das heißt, sowohl die Seitenlängen als auch der Flächeninhalt sind rationale Zahlen. Jedes heronische Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, die durch pythagoreische Tripel aus rationalen Zahlen gegeben sind.

Die Fermatsche Gleichung

Eine Verallgemeinerung der pythagoreischen Tripel erhält man, wenn man den Exponenten 2 durch eine natürliche Zahl n ersetzt. Man untersucht also die diophantische Gleichung

{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}\qquad (2<n\in \mathbb {N} )}

und sucht nach Lösungen durch ganze Zahlen {\displaystyle a,\ b,\ c} unter Ausschluss der trivialen Lösungen, bei denen eine der drei Zahlen gleich Null ist, oder durch natürliche Zahlen.

Pierre de Fermat stellte um das Jahr 1637 die Behauptung auf, dass es keine derartigen Tripel gibt. Obwohl er keinen Beweis angab, wird diese Vermutung als großer Fermatscher Satz bezeichnet. Jahrhundertelang konnte kein Beweis gefunden werden. Die Suche danach führte aber zu vielen interessanten Erkenntnissen, insbesondere in der Zahlentheorie. Erst 1995 konnte der Mathematiker Andrew Wiles den Satz von Fermat schließlich beweisen.

Fermat besaß einen Beweis für den Fall n=4 und behandelte den eng verwandten Fall eines heronischen Dreiecks, dessen Flächeninhalt ein Quadrat ist (siehe Unendlicher Abstieg). Dieses Problem geht auch auf Diophant zurück.

Algorithmus

Ein möglicher Algorithmus in der Programmiersprache Haskell könnte folgendermaßen aussehen. Er erstellt für eine natürliche Zahl n alle möglichen Tripel, deren Hypotenuse n nicht überschreitet:

pythTripels n = [(k*x, k*y, k*z) | (x,y,z) <- primitives, k <- [1..n`div`z]] where
   primitives = [(p^2-q^2, 2*p*q, p^2+q^2) | p <- takeWhile (\p -> p^2+1 <= n) [1..], q <- takeWhile (\q -> p^2+q^2 <= n) [1..p], odd (p+q) && gcd p q == 1]

In Python ist List Comprehension ein elegantes Mittel, um pythagoreische Tripel zu bestimmen (Beispiel für alle Tripel mit c<100):

[(a, b, c) for a in range(1, 100) for b in range(a, 100) for c in range(b, 100) if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2]

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.11. 2022