Sekans und Kosekans

Definitionen am Einheitskreis

Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit \sec (x) bezeichnet, der Kosekans mit \csc (x) oder \operatorname{cosec} (x). Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

\overline{OT} = \sec(b) \qquad\qquad \overline{OK} = \csc(b)
Ein rechtwinkliges Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwertfunktion der Sinusfunktion:

 \sec (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \frac{c}{b} \qquad
\qquad \csc (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \frac{c}{a}
\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}

Eigenschaften

Graphen

Graph der Sekansfunktion
Graph der Kosekansfunktion

Definitionsbereich

Sekans:    -\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}
Kosekans:    -\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne n \cdot \pi\ ; \, n \in \mathbb{Z}

Wertebereich

 -\infty < f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) < +\infty

Periodizität

Periodenlänge 2 \cdot \pi \,:\, f(x+2\pi) = f(x)

Symmetrien

Sekans:    Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
Kosekans:    Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)

Polstellen

Sekans:    x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}
Kosekans:    x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}

Extremwerte

Sekans:    Minima:  x = 2n \cdot \pi \,;\, n \in \mathbb{Z} Maxima:  x = (2n - 1) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}
Kosekans:    Minima:  x = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z} Maxima:  x = \left( 2n - \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}

Nullstellen

Beide Funktionen haben keine Nullstellen.

Asymptoten

Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.

Sprungstellen

Beide Funktionen haben keine Sprungstellen.

Wendepunkte

Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.

Umkehrfunktionen

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. x \in  [0 , \pi] ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):
x = \arcsec (y)

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. x \in  \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):
x = \arccsc (y)

Reihenentwicklung

Sekans:

\sec(x) = 4\pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(2k+1)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 }

Kosekans:

\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2} = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k \, x}{x^2-k^2\pi^2}

Ableitung

Sekans:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec(x) = \sec(x) \cdot \tan(x) = \frac{\sec^2(x)}{\csc(x)}

Kosekans

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\sin(x)}=
- \csc(x) \cdot \cot(x) = - \frac{\csc^2(x)}{\sec(x)} =-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}

Integral

Sekans:

\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right|=\ln\Big|\sec(x)+\tan(x)\Big|

Kosekans

\int\csc(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|=\ln\left|\tan \left(\frac{x}{2} \right)\right|

Komplexes Argument

\sec(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{2\cos(x)\cosh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\sin(x)\sinh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}
  mit  x,y \in \mathbb{R}


\csc(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}
  mit  x,y \in \mathbb{R}

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.12. 2017