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Definitionslücke

In dem mathematischen Teilgebiet der Analysis hat eine Funktion Definitionslücken, wenn einzelne Punkte aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. Üblicherweise geht es dabei um reelle, stetige bzw. differenzierbare Funktionen. Die Definitionslücken sind die Stellen, an denen man durch null teilen müsste oder Ähnliches, beispielsweise bei gebrochenrationalen Funktionen. Die Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „reparieren“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften fortgesetzt werden kann. In diesem Fall ist die Funktion stetig fortsetzbar und hat stetig hebbare Definitionslücken.

Insbesondere wenn eine Definitionslücke nicht stetig hebbar ist, zum Beispiel weil die Funktion dort gegen unendlich strebt oder sehr schnell oszilliert, wird die Lücke auch als Singularität bezeichnet, wobei der Sprachgebrauch in diesen Fällen nicht immer einheitlich ist. Oft werden Definitionslücke und Singularität als Synonyme verwendet.

Bei komplexwertigen Funktionen, die in einer Umgebung einer Definitionslücke holomorph sind, spricht man von isolierten Singularitäten. Dort ist die Klassifikation einfacher und es gelten weitreichende Aussagen, für die es keine Entsprechungen bei reellen Funktionen gibt.

Definition

Funktion mit Definitionslücke x_{0}

Sei I = [a,b] \subset \R ein Intervall, x_0 \in \left]a,b\right[ ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls und O eine Obermenge von I. Eine stetige Funktion f \colon O \setminus \{x_0\} \to \R, die überall auf der Obermenge O außer an der Stelle x_{0} definiert ist, hat in x_{0} eine Definitionslücke.

Stetig hebbare Definitionslücke

Sei x_{0} eine Definitionslücke der stetigen Funktion f \colon I \setminus \{x_0\} \to \R. Existiert eine stetige Funktion \tilde{f} \colon I \to \R mit \tilde{f}(x) = f(x) für alle x \in I \setminus \{x_0\}, dann ist \tilde{f} eine stetige Fortsetzung von f. Die Definitionslücke wird dann stetig hebbar oder stetig behebbar und die Funktion f stetig ergänzbar oder stetig fortsetzbar genannt.

Existiert der Grenzwert

\lim_{x\to x_0} f(x) =: r\,,

dann ist x_{0} eine stetig hebbare Definitionslücke von f. In diesem Fall wird durch


\tilde{f}(x) := \begin{cases}
f(x), & x \in I \setminus \{x_0\}\\
r, & x = x_0
\end{cases}

eine stetige Fortsetzung \tilde{f} von f ohne Definitionslücke definiert.

Eigenschaften stetiger Fortsetzungen

\tilde{f}(x_0) = \lim_{x\to x_0\atop x\in I}f(x)
eindeutig ist.

 \lim_{x\to x_0} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{u'(x)}{v'(x)} .

Weitere Arten von Definitionslücken

Neben den stetig hebbaren Definitionslücken gibt es noch verschiedene Arten von Sprungstellen sowie Polstellen und wesentliche Singularitäten. Funktionen mit solchen Definitionslücken können nicht stetig fortgesetzt werden.

Beispiele

 
f\colon \mathbb{R}_{\geq 0} \setminus \{1\} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \frac{\sqrt{x}-1} {x-1}\,.
Die Funktion f ist in x_0=1 stetig fortsetzbar, denn für den Grenzwert gilt
 
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1} {x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt x-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac {1}{\sqrt{x}+1}=\frac 12
und somit lautet die Fortsetzung
 \tilde{f} \colon \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R},\, x \mapsto 
\begin{cases} \frac {\sqrt{x}-1}{x-1} & ,x \neq 1 \\ \frac12 &, x=1\,. \end{cases}.
An diesem Beispiel kann man noch bemerken, dass \tilde{f} auch ohne Fallunterscheidung geschrieben werden kann, es gilt nämlich \tilde{f}(x) = \tfrac {1}{\sqrt{x}+1} für alle x\geq 0.
g\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R},\, x\mapsto x\cdot\sin(\tfrac 1x)
die stetige Fortsetzung
 \tilde{g} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto 
\begin{cases} x\cdot\sin(\tfrac 1x) & ,x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient


f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

aus zwei ganzrationalen Funktionen u und v.

Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine Nullstelle hat. Funktionen dieser speziellen Klasse können als Definitionslücken nur Polstellen oder stetig hebbare Definitionslücken aufweisen.

Die Definitionslücke kann nur dann stetig hebbar sein, wenn die ganzrationalen Funktionen im Nenner und Zähler an derselben Stelle eine Nullstelle haben. Für die ganzrationalen Funktionen u und v ist das Verhalten an den Nullstellen bekannt:

Die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also  u(x) und  v(x) an der Stelle x_{0} eine Nullstelle haben, so ist immer

 u(x) = ( x - x_0 )^{N_u} \; s(x)

und

 v(x) = ( x - x_0 )^{N_v} \; t(x)

wobei

{\displaystyle s(x_{0})\neq 0\land t(x_{0})\neq 0}.

Die natürlichen Zahlen  N_u und  N_v bezeichnet man auch als die Ordnung (oder Vielfachheit) der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen (zumindest für x \ne x_0) kürzen. Das Ergebnis der Kürzung ist der einzige Kandidat für eine stetige Fortsetzung nach x_{0}.

Beispiel

Die Funktion

 f(x) = \frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{(x+1)^2(x-1)}

hat für x=-1 eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert (x+1)^2 beheben lässt, wodurch sich die Funktion

\tilde f (x) = \frac{x+2}{x-1}

als auch bei x=-1 stetige Fortsetzung ergibt. Es ist wohlgemerkt \tilde f ebenso wie f für x = +1 undefiniert, dort liegt eine Polstelle vor.

Ein Beispiel, um die Unterscheidung zwischen einer Polstelle und einer behebbaren Definitionslücke zu veranschaulichen. Die Funktion

{\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x^{2}-2x+1}}={\frac {(x-1)}{(x-1)^{2}}}}

hat für x = +1 eine Definitionslücke, die durch Kürzen mit dem Wert {\displaystyle (x-1)} auf die Funktion

{\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {1}{x-1}}} führt.

Da \tilde f ebenso wie f für x = +1 undefiniert ist, wurde die Lücke durch das Kürzen nicht behoben. Daher liegt bei x = +1 eine Polstelle und keine behebbare Definitionslücke vor.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 06.07. 2019