p-adische Zahl

Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper \mathbb {Q} _{p} des Körpers \mathbb {Q} der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen \mathbb {R} und über allen \mathbb {Q} _{p} gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist \mathbb {Q} _{p} vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.

Motivation

Ist p eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl in einer p-adischen Entwicklung der Form

\pm \sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot p^{i}

geschrieben werden (man sagt, die Zahl wird zur Basis p notiert, siehe auch Stellenwertsystem), wobei die a_{i} Zahlen aus {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,p-1\}} sind. So ist etwa die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man:

35\;=\;1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}\;=\;100011_{2}

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen am unteren Ende, d.h. der folgenden Form:

\pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}\cdot p^{i}

Diese Reihen sind konvergent bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Zum Beispiel ist {\displaystyle 0{,}{\overline {13}}_{5}=0{,}131313\dots _{5}} [1] die 5-adische Darstellung von {\tfrac {1}{3}} zur Basis {\displaystyle b=5}. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die a_{i}=0 für alle i<0 gilt.

Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form

 
\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}\cdot p^{i} (1)

 

erzeugen, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper \mathbb {Q} _{p} der p-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) b-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen p-adischen Zahlen, für die a_{i}=0 für alle i<0 gilt, heißen ganze p-adische Zahlen. Analog zur gewöhnlichen p-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

{\displaystyle \dotsb +2\cdot 5^{4}+3\cdot 5^{3}+2\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{1}+2\cdot 5^{0}+3\cdot 5^{-1}=\dotso 23232{,}3_{5}={\overline {2,\!3}}_{5}}[1]
Bemerkung
Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden.

Die gewöhnliche p-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren (negativen) Potenzen von p, und die p-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren p-Potenzen.[2]

Mit diesen formalen Laurent-Reihen in p kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von {\displaystyle {\overline {4}}_{5}=\dotso 44444_{5}} und 1_{5} die Zahl 0_{5}. Ein Vorzeichen wird nicht gebraucht, da auch alle additiv Inversen ‒ negative Zahlen gibt es nicht ‒ eine p-adische Darstellung (1) haben.

Des Weiteren lässt sich die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei {\displaystyle 0_{5}-1_{5}=\dots 444_{5}={\overline {4}}_{5}}).

Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht.

Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.

Konstruktion

Analytische Konstruktion

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Dies erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl 1 als {\displaystyle 1{,}00\dotso } oder als {\displaystyle 0{,}99\dotso } zu schreiben, da in {\displaystyle \mathbb {R} \;0{,}{\overline {9}}=1} gilt.

Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und indem man statt der üblichen euklidischen (archimedischen) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, eine andere Metrik benutzt, erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.

p-adischer Betrag

Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf \mathbb {Q} : Jede rationale Zahl x\neq 0 lässt sich in der Form x=\pm {\tfrac {a}{b}}\;p^{n} schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl n und zwei natürlichen Zahlen a und b, die beide nicht durch p teilbar sind. Wir setzen dann |x|_{p}\,:=p^{-n} und |0|_{p}\,:=0. Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.

Zum Beispiel gilt für x={\tfrac {63}{550}}=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}:

|x|_{2}=2,|x|_{3}={\tfrac {1}{9}},|x|_{5}=25,|x|_{7}={\tfrac {1}{7}},|x|_{11}=11
|x|_{p}=1 für jede andere Primzahl p

Im Sinne dieses Betrags |x|_{p} sind große Potenzen von p betragsmäßig klein. Damit wird auf den p-adischen Zahlen ein diskreter Bewertungsring definiert.

Exponentenbewertung

Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes |x|_{p} wählt man den Exponenten {\displaystyle w(x):=-\log |x|_{p}}. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so:

  1. {\displaystyle w(x)\in \mathbb {R} } für {\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{\times }}.
  2. {\displaystyle w(0)=\infty }. [3]
  3. {\displaystyle w(xy)=w(x)+w(y)}.
  4. {\displaystyle w(x+y)\geq \min(w(x),w(y))} .

Man spricht von einer Exponentenbewertung, manchmal auch p-Bewertung, und von einem exponentiell bewerteten Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der verschärften Dreiecksungleichung eine Addition der Werte |x|_{p} nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.

Häufig normiert man so, dass {\displaystyle w(p)=1} ist für das Primelement p.[4]

p-adische Metrik

Die p-adische Metrik d_{p} auf \mathbb {Q} definiert man über den Betrag:

d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}

Damit ist beispielsweise die Folge {\displaystyle (1,5,5^{2},5^{3},5^{4},\dotsc )} in \mathbb {Q} bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge {\displaystyle (1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\dotsc )} beschränkt, aber keine Cauchy-Folge ist, denn für jedes n gilt:

d_{5}\left({\tfrac {1}{2^{n}}},{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right)=\left|{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right|_{5}=1

Die Vervollständigung des metrischen Raums {\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})} ist der metrische Raum \mathbb {Q} _{p} der p-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem \mathbb {Q} enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form

\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}\cdot p^{i}

sofort als konvergent zu erkennen, falls k eine ganze Zahl ist und die a_{i} in {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,p-1\}} liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{*}} als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit {\displaystyle a_{k}\neq 0}) darstellen lässt.

Algebraische Konstruktion

Hier wird zuerst der Ring \mathbb {Z} _{p} der ganzen p-adischen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper \mathbb {Q} _{p}.

Wir definieren \mathbb {Z} _{p} als projektiven Limes

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }

der Restklassenringe \Z/p^n\Z: Eine ganze p-adische Zahl ist eine Folge {\displaystyle \textstyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} von Restklassen a_{n} aus \Z/p^n\Z, die die Verträglichkeitsbedingung (des projektiven Limes)

{\displaystyle 0\leq n<m\;\Rightarrow \;a_{n}\equiv a_{m}{\bmod {p}}^{n+1}}

erfüllen. Für jede ganze Zahl m\in \mathbb{Z } ist die (stationäre) Folge {\displaystyle \textstyle \left(m+p^{n}\mathbb {Z} \right)_{n\in \mathbb {N} }} ein Element von \mathbb {Z} _{p}. Wird \mathbb {Z} auf diese Weise in \mathbb {Z} _{p} eingebettet, dann liegt \mathbb {Z} dicht in \mathbb {Z} _{p}.

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede p-adische ganze Zahl (a_{n}) die additive Inverse (p^{n}-a_{n}) und jede Zahl, deren erste Komponente a_{1} nicht {\displaystyle 0} ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle a_{n} zu p^{n} teilerfremd, haben also ein Inverses b_{n} modulo p^{n}, und die Folge {\displaystyle \textstyle \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu (a_{n}).

Jede p-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (1) dargestellt werden, dabei sind die Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum Beispiel kann man die 3-adische Folge {\displaystyle (2,8,8,35,35,35,\dotsc )} auch als {\displaystyle 2+2\cdot 3+0\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{4}+0\cdot 3^{5}+\dotsb =\dotso 001022_{3}={\overline {0}}1022_{3}} schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als {\displaystyle 1022_{3}}.

Der Ring \mathbb {Z} _{p} der ganzen p-adischen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},} den Körper der p-adischen Zahlen. Jedes von {\displaystyle 0} verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form up^{n} darstellen, wobei n eine ganze Zahl und u eine Einheit in \mathbb {Z} _{p} ist, also mit erster Komponente u_{0}\neq 0. Diese Darstellung ist eindeutig.

Ferner gilt {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\left\{p^{-n}\mid n\in \mathbb {N} _{0}\right\}\cdot \mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Q} \cdot \mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Q} +\mathbb {Z} _{p}.}

Einheiten

Die Menge der Einheiten wird häufig mit

{\displaystyle U_{p}:=\{u\in \mathbb {Q} _{p}\mid |u|_{p}=1\}}

bezeichnet und die Menge der Einseinheiten mit

{\displaystyle U_{p,1}:=\{u\in \mathbb {Z} _{p}\mid u\equiv 1{\text{ mod }}p\}=1+p\mathbb {Z} _{p}.}

Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt

{\displaystyle U_{p}\cong {\mathbb {F}}_{p}^{*}\times U_{p,1}.}

Eigenschaften

{\displaystyle x=\sum _{i=k}^{\infty }\epsilon _{i}\cdot p^{i}}.
Alle Ergebnisse sind eindeutig, k ist dasselbe wie in (1).

p-adische Funktionentheorie

Die Potenzreihe

\exp(x):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

der Exponentialfunktion hat ihre Koeffizienten in \mathbb {Q} _{p}. Sie konvergiert für alle {\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}} mit |x|_{p}<p^{\frac {-1}{p-1}}. Dieser Konvergenzradius gilt für alle algebraischen Erweiterungen von \mathbb {Q} _{p} und deren Vervollständigungen, einschließlich {\displaystyle \mathbb {C} _{p}.}

Damit liegt \exp(p) in \mathbb {Q} _{p} für alle p>2; in \mathbb {Q} _{2} liegt \exp(4). Es gibt algebraische Erweiterungen von \mathbb {Q} _{p}, in denen die p-te Wurzel von \exp(p) bzw. die vierte Wurzel von \exp(4) liegt; diese Wurzeln könnte man als p-adische Entsprechungen der Eulerschen Zahl auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl e=2{,}718\ldots wenig zu tun.

Die Potenzreihe

{\displaystyle \log(1+y):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}y^{n}}{n}}}

für den Logarithmus konvergiert für {\displaystyle |x|_{p}<1}.

In den Konvergenzgebieten gilt

{\displaystyle \log \circ \exp ={\text{id}}}

und

{\displaystyle \exp \circ \log ={\text{id}}}.

Dort gelten auch die aus der reellen und komplexen Analysis bekannten Funktionalgleichungen.

Funktionen von \mathbb {R} nach \mathbb {R} mit Ableitung {\displaystyle 0} sind konstant. Für Funktionen von \mathbb {Q} _{p} nach \mathbb {Q} _{p} gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion

{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} _{p}\to \mathbb {Q} _{p},\;x\mapsto \left({\frac {1}{|x|_{p}}}\right)^{2}} für x\neq 0, f(0)=0

auf ganz \mathbb {Q} _{p} die Ableitung {\displaystyle 0}, ist aber nicht einmal lokal konstant in {\displaystyle 0}. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in {\displaystyle 0} ist

\lim _{h\to 0}\left|{\frac {1}{h}}\left({\frac {1}{|h|_{p}}}\right)^{2}\right|_{p}=\lim _{h\to 0}|h|_{p}=0.

Unterschiede zu den archimedischen Systemen

Abgesehen von der anderen Konvergenz der p-adischen Metrik gegenüber der unter Stellenwertsystem beschriebenen archimedischen Metrik gibt es noch folgende Unterschiede:

Approximationssatz

Sind {\displaystyle r_{\infty },r_{2},r_{3},r_{5},r_{7},\dotsc } Elemente von {\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }(:=\mathbb {R} ),\mathbb {Q} _{2},\mathbb {Q} _{3},\mathbb {Q} _{5},\mathbb {Q} _{7},\dotsc }, dann gibt es eine Folge (x_{\nu }) in \mathbb {Q} , sodass für jedes p (einschließlich \infty ) r_{p} der Grenzwert von (x_{\nu }) in \mathbb {Q} _{p} unter |\cdot |_{p} ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.)

Anmerkungen

  1. a b Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das Komma auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: {\displaystyle 0{,}_{5}\!{\overline {13}}={\tfrac {1}{3}}} und {\displaystyle {\overline {4}}_{5}\!{,}4=-{\tfrac {1}{5}}} bzw. {\displaystyle {\overline {4}}_{5}=-1}.
  2. Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.
  3. Da jede Potenz von p die 0 teilt, ist wie üblich {\displaystyle \infty >r} für alle {\displaystyle r\in \mathbb {R} }.
  4. So normiert entspricht die Exponentenbewertung der Ordnung einer formalen Potenzreihe in X mit der Unbestimmten X als Primelement.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 24.02. 2020