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Quotientenkörper

In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer {\displaystyle 0} ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel ist der Körper der rationalen Zahlen als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben.

Definition

Es sei R ein vom Nullring verschiedener, nullteilerfreier kommutativer Ring. Der kleinste Körper, in den R eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Rings genannt. Gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung \operatorname {Quot}(R) oder auch \operatorname {Q}(R).

Bemerkungen

Für den Nullring wäre die Menge M in der Definition unten leer. Der Ring muss frei von Nullteilern sein, da ansonsten für b,d\in R\setminus \{0\} mit bd=0 die Multiplikation nicht wohldefiniert wäre (siehe unten). Ist der Ring nicht kommutativ, so entsteht lediglich ein Schiefkörper, der nicht zwangsläufig ein Körper ist.

Jeder Ring obiger Art kann in einen „kleinsten“ Körper eingebettet werden, d.h. alle Körper, in die der Ring eingebettet werden kann, enthalten einen zu diesem kleinsten Körper, dem Quotientenkörper des Rings, isomorphen Teilkörper; insbesondere kann er so auch zu einem Integritätsring erweitert werden, indem der Quotientenkörper gebildet und 1\in \operatorname {Quot}(R) zu R\subset \operatorname {Quot}(R) adjungiert wird. Das heißt R[1]\subset \operatorname {Quot}(R) ist der kleinste Integritätsring, der R enthält.

Insbesondere erfüllt jeder Integritätsring die geforderten Eigenschaften; allerdings ist ein Einselement, das der Integritätsring zusätzlich fordert, nicht notwendig, um den Quotientenkörper bilden zu können. Dennoch fordern viele Autoren wegen besserer Übersichtlichkeit einen Integritätsring.

Eigenschaften

Quotkoerper.png

Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass \operatorname {Quot}(R) der kleinste Körper ist, der R enthält, und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, also ist es gerechtfertigt, von dem Quotientenkörper zu sprechen.

Konstruktion

Man kann den Quotientenkörper (\operatorname {Quot}(R),i) eines Rings R wie folgt konstruieren:

(a,b)\sim (c,d)\quad :\!\!\iff \quad ad=cb.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\ :=\ {\frac {ad+cb}{bd}},\qquad {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\ :=\ {\frac {ac}{bd}}}
Insbesondere sind die so definierten Operationen wohldefiniert, also die beiden Seiten von der Wahl der Vertreter unabhängig.

Für die Wohldefiniertheit der Struktur von \operatorname {Quot}(R) ist die Kürzungsregel in nullteilerfreien Ringen entscheidend, d.h. dass für a\neq 0 aus ax=ay stets x=y folgt.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.09. 2019