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Integritätsring

In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement.

Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das Nullideal \lbrace 0\rbrace ein Primideal ist, oder als einen Teilring eines Körpers. Es gibt auch eine abgeschwächte Definition, in der kein Einselement gefordert wird, sondern nur, dass es wenigstens ein von Null verschiedenes Element in dem Ring gibt. Viele Sätze über Integritätsringe benötigen jedoch eine Eins, deshalb wird diese Eigenschaft meist mit in die Definition aufgenommen.

Beispiele

Teilbarkeit

Hauptartikel: Teilbarkeit

Sind a und b Elemente des Integritätsrings R, dann nennt man a einen Teiler von b und b ein Vielfaches von a (und sagt auch: a teilt b), wenn es ein Element x in R gibt, so dass ax=b. Man schreibt dann a\mid b, andernfalls a \nmid b.

Es gelten die folgenden Teilbarkeitsregeln:

Die erste Regel besagt, dass Teilbarkeit transitiv ist. Die zweite und dritte Regel besagen, dass die Menge aR der Vielfachen eines Elementes a ein Ideal in R bildet; dieses wird auch als (a) notiert.

Einheiten

Hauptartikel: Einheiten

Ringelemente, die Teiler der 1 sind, heißen Einheiten von R. Die Einheiten sind identisch mit den invertierbaren Elementen und teilen alle anderen Elemente. Die Menge der Einheiten von R wird mit R^{*} bezeichnet und bildet zusammen mit der Ringmultiplikation als Verknüpfung eine abelsche Gruppe – die sogenannte Einheitengruppe von R. Ein Ringelement, das keine Einheit ist, heißt Nichteinheit.

Assoziierte Elemente

Hauptartikel: Assoziierte Elemente

Gelten a\mid b und b\mid a, dann heißen a und b zueinander assoziiert. Zwei Ringelemente a und b sind genau dann assoziiert, wenn es eine Einheit u gibt, sodass au=b.

Irreduzibilität

Ein Element heißt reduzibel, wenn es eine Einheit oder ein Produkt zweier (nicht notwendig verschiedener) Nichteinheiten ist, andernfalls heißt es irreduzibel.

Primelemente

Hauptartikel: Primelement

Ein Element p heißt Primelement (oder kurz prim), falls p weder 0 noch eine Einheit ist und außerdem gilt: Aus p\mid ab folgt p\mid a oder p\mid b. Das Hauptideal (p) ist dann ein Primideal. Ist andersherum das Hauptideal (p) einer von Null verschiedenen Nichteinheit p ein Primideal, so ist p prim. (Das Nullideal ist in Integritätsringen ein Primideal, die Hauptideale von Einheiten sind schon der gesamte Ring.)

Zusammenhang zwischen primen und irreduziblen Elementen

Jedes Primelement ist irreduzibel (für diese Aussage wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt), aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim. Im Ring \mathbb Z[\sqrt{-5}] sind 2, 3, 1+{\sqrt  {-5}} und 1-{\sqrt  {-5}} irreduzibel, aber nicht prim: zum Beispiel teilt 3 weder 1+{\sqrt  {-5}} noch 1-{\sqrt  {-5}}, aber deren Produkt.

In Hauptidealringen und allgemeiner in faktoriellen Ringen stimmen jedoch beide Begriffe überein. So werden in \mathbb {Z} die Primzahlen üblicherweise nur als positive, irreduzible Elemente von \mathbb {Z} definiert. Diese Elemente sind jedoch auch Primelemente, da \mathbb {Z} faktoriell und somit jedes irreduzible Element prim ist. Es sind jedoch auch noch die negativen Pendants der Primzahlen Primelemente, woran man sieht, dass der Begriff des Primelements allgemeiner gefasst ist als der Begriff der Primzahl.

Quotientenkörper

Hauptartikel: Quotientenkörper

Ist R ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster Körper \operatorname {Quot}(R), der R als Teilring enthält. Der Körper \operatorname {Quot}(R)\,\! ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt Quotientenkörper von R. Seine Elemente haben die Form {\tfrac  ab} mit a,b\in R,b\neq 0. Der Quotientenkörper ist ein Beispiel einer Konstruktion mit einem Integritätsring, in dem keine Eins (in der Definition des Integritätsringes) benötigt wird, sondern lediglich irgendein von Null verschiedenes Element.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen. Der Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.

Alternativ kann man Quotientenkörper über Lokalisierungen von R nach dem Nullideal \lbrace 0\rbrace konstruieren.

Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende universelle Eigenschaft:

Ein Quotientenkörper eines Ringes R ist ein Paar (K,\phi ) aus einem Körper K und einem Ringhomomorphismus \phi von R nach K mit der Eigenschaft, dass es für jeden Körper L mit Ringhomomorphismus \psi \colon R\to L genau einen KörperhomomorphismusKörperhomomorphismus \alpha \colon K\to L mit \psi =\alpha \circ \phi gibt.

Charakteristik

Die Charakteristik eines Integritätsrings ist entweder 0 oder eine Primzahl, denn besitzt ein Ring eine Charakteristik c=k\cdot l, dann folgt \sum _{{i=1}}^{c}1=\sum _{{i=1}}^{{k\cdot l}}1=\left(\sum _{{i=1}}^{k}1\right)\cdot \left(\sum _{{i=1}}^{l}1\right)=0, woraus (aufgrund der Nullteilerfreiheit) entweder \sum _{{i=1}}^{k}1=0 oder \sum _{{i=1}}^{l}1=0 folgt. Dies ist aber bereits die Definition der Charakteristik (kleinstes n mit \sum _{{i=1}}^{n}1=0), weshalb entweder k=c oder l=c ist und c somit prim ist. Man beachte, dass für diesen Beweis nicht unbedingt ein Integritätsring (genauer: die Kommutativität eines Ringes) notwendig ist, ein nullteilerfreier Ring mit 1 reicht bereits.

Ist R ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik p, dann ist die Abbildung f\colon R\to R,\;x\mapsto x^p ein injektiver Ringhomomorphismus und heißt Frobeniushomomorphismus. Ist der betrachtete Ring endlich, so ist f sogar bijektiv, also ein Automorphismus.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.09. 2019