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Hauptidealring

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Integritätsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten über einem Körper. Der Begriff des Hauptidealrings erlaubt es, Aussagen über diese beiden Spezialfälle einheitlich zu formulieren. Beispiele für Anwendungen der allgemeinen Theorie sind die Jordansche Normalform, die Partialbruchzerlegung oder die Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Definition

Ein Integritätsring A (d.h. ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1\neq 0) heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal I\subseteq A ein Hauptideal ist, d.h. es gibt ein x\in A, so dass I=A\cdot x=\left\{a\cdot x\mid a\in A\right\}.

Im Folgenden sei A ein Hauptidealring und K sein Quotientenkörper. Außerdem sei P\subset A eine Menge, die für jedes irreduzible p\in A genau ein zu p assoziiertes Element enthält. Im Fall A=\mathbb {Z} ist die Menge der (positiven) Primzahlen ein solches P, im Fall A=k[T] für einen Körper k die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1.

Beispiele, Folgerungen und Gegenbeispiele

Die folgenden Ringe sind Hauptidealringe:

Hauptidealringe gehören zu den folgenden allgemeineren Klassen von Ringen:

u\cdot \prod _{{p\in P}}p^{{e_{p}}}
mit ganzen Zahlen e_{p} und einer Einheit u\in A^{\times } schreiben.
  • Das Lemma von Gauß: Jedes irreduzible Element in A[X] ist entweder ein irreduzibles Element von A (aufgefasst als konstantes Polynom) oder ein in K[X] irreduzibles Polynom, dessen Koeffizienten teilerfremd sind.

Keine Hauptidealringe sind:

Teilbarkeit

\operatorname {ggT}(x_{1},\dots ,x_{m})=a_{1}x_{1}+\dots +a_{m}x_{m}.
Spezialfall: x_{1},\dots ,x_{k} sind genau dann teilerfremd, wenn es a_{1},\dots ,a_{m} gibt mit
1=a_{1}x_{1}+\dots +a_{m}x_{m}.
A/(x_{1}\cdots x_{m})\to \prod _{{i=1}}^{m}A/(x_{i})
ein Isomorphismus.
v_{{p_{i}}}(x-x_{i})\geq n_{i} für i=1,\dots,m
und
v_{p}(x)\geq 0 für p\in P\setminus \{p_{1},\dots ,p_{m}\}.
Dabei bezeichnet v_{p}(x)\in \mathbb{Z } den Exponenten von p in der Primfaktorzerlegung von x.
Das Nullideal ist ebenfalls ein Primideal, jedoch nur dann maximal, wenn A ein Körper ist.

Hauptidealringe als Dedekind-Ringe

Viele in algebraischer Zahlentheorie und algebraischer Geometrie natürlich auftretende Ringe sind keine Hauptidealringe, sondern gehören einer etwas allgemeineren Klasse von Ringen an, den Dedekind-Ringen. Sie sind die lokalisierte Version der Hauptidealringe, Ideale sind nicht mehr global, sondern nur noch lokal von einem Element erzeugt:

Ist A ein noetherscher Integritätsbereich, für den der lokale Ring A_{{\mathfrak  {p}}} für jedes Primideal {\mathfrak {p}} ein Hauptidealring ist, so heißt A Dedekind-Ring.

Die folgenden Eigenschaften gelten für Hauptidealringe, aber auch allgemeiner für Dedekind-Ringe:

Ist ein Dedekind-Ring faktoriell oder semilokal, so ist er ein Hauptidealring.

Moduln über Hauptidealringen

Allgemeines

0\to A\to K\to K/A\to 0.

Endlich erzeugte Moduln: Elementarteilersatz

Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln. (Ein Modul M heißt unzerlegbar, wenn es keine Moduln M_{1},M_{2}\neq 0 gibt mit M\cong M_{1}\oplus M_{2}.)

Es sei P wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente (bis auf Assoziiertheit). Zu jedem endlich erzeugten Modul M gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen m_{0} und m_{{p,i}} für {\displaystyle p\in P,i\in \mathbb {N} _{\geq 1}}, von denen fast alle null sind, so dass

M\cong A^{{m_{0}}}\oplus \bigoplus _{{p\in P}}\bigoplus _{{i\geq 1}}(A/(p^{i}))^{{m_{{p,i}}}}.

Die Zahlen m_{0},m_{{p,i}} sind durch M eindeutig festgelegt, und die einzelnen Faktoren A bzw. A/(p^{k}) sind unzerlegbar. Die Ideale (p^{i}), für die m_{{p,i}}\neq 0 gilt, heißen Elementarteiler von M.

Endlich erzeugte Moduln: Invariante Faktoren

Zu jedem endlich erzeugten Modul M gibt es eine endliche Folge x_{1},x_{2},\dots ,x_{m} von Elementen von A, die nicht notwendigerweise von null verschieden sind, so dass

Die Ideale (x_{i}) sind durch M eindeutig bestimmt und heißen die invarianten Faktoren von M. Die Elemente x_{i} sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.

Zu dieser Aussage über Moduln gibt es zwei konkurrierende Sichtweisen:

Umgekehrt ist das Bild einer m\times n-Matrix mit Einträgen in A ein Untermodul U\subseteq A^{m}, und der Quotientenmodul M=A^{m}/U (der Kokern des durch X gegebenen Homomorphismus A^{n}\to A^{m}) ist ein endlich erzeugter A-Modul.

Für Untermoduln freier Moduln lautet die Aussage:

Für Matrizen (Smith-Normalform):

{\begin{pmatrix}x_{1}&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&x_{r}&0&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &&&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}
Dabei sind x_{1}\mid x_{2}\mid \dots \mid x_{r} wieder die Invarianten wie oben.

Torsionsmoduln

Es sei M ein (nicht notwendigerweise endlich erzeugter) Torsionsmodul über A, d.h. für jedes m\in M existiert ein a\in A\setminus \{0\} mit am=0. Wieder sei P\subset A ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt: M ist die direkte Summe der p-primären Untermoduln M_{{(p)}}, d.h.

M=\bigoplus _{{p\in P}}M_{{(p)}}

mit

M_{{(p)}}=\left\{m\in M\mid p^{i}m=0\ {\text{für ein}}\ i\in \mathbb{N} \right\}.

Als Korollar ergibt sich, dass M genau dann halbeinfach ist, wenn p\cdot M_{{(p)}}=0 für alle p\in P.

Anwendungsbeispiele:

a+\sum _{{p\ {\text{prim}}}}\sum _{{i=1}}^{{o_{p}}}d_{{p,i}}p^{{-i}}
mit a\in\Z, o_{p}\geq 0 (und fast alle o_{p}=0) sowie d_{{p,i}}\in \{0,1,\dots ,p-1\} und d_{{p,o_{p}}}\neq 0.
a+\sum _{p}\sum _{{i=1}}^{{o_{p}}}d_{{p,i}}p^{{-i}}.
Dabei durchläuft p die irreduziblen normierten Polynome in k[T], die weiteren Komponenten sind der reguläre Anteil a\in k[T], die Ordnungen o_{p}\geq 0 (fast alle o_{p}=0) und geeignete Polynome d_{{p,i}} für i=1,2,\dots ,o_{p} mit \deg(d_{{p,i}})<\deg(p). Ist insbesondere p linear, so sind die d_{{p,i}} Konstanten.

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe

Die Definitionen lassen sich auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern. Ein Rechts-Hauptideal I ist Rechts-Vielfaches gA eines einzelnen Elements g\in A; Ag ist ein Links-Hauptideal. Wie im kommutativen Fall sind \{0\}=0A=A0 und A=1A=A1 die trivialen (und zweiseitigen) Hauptideale.

Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch und damit sowohl rechts- wie linksseitig ein Hauptidealring ist.

Verwandte Begriffe

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 11.06. 2020