Quotientenmodul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul M und einem Untermodul N\subseteq M ist der Quotientenmodul {\displaystyle M/N} das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus {\displaystyle M\to M/N} mit Kern N.

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition

Es sei A ein Ring. Zu einem A-(Links-)Modul M und einem Untermodul N\subseteq M ist der Quotientenmodul {\displaystyle M/N} die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von M nach der Äquivalenzrelation

{\displaystyle m_{1}\equiv m_{2}\mod N\iff m_{1}-m_{2}\in N}

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung {\displaystyle M\to M/N} ein Homomorphismus ist:

{\displaystyle a\cdot (m+N)=am+N.}

Eigenschaften

{\displaystyle M/(M\cap N)\cong (M+N)/N.}
Für Untermoduln {\displaystyle N\subseteq Q\subseteq P} gilt
{\displaystyle (P/N)/(Q/N)\cong P/Q.}
{\displaystyle B\otimes _{A}(M/N)\cong (B\otimes _{A}M)/U;}
dabei steht U für das Bild von {\displaystyle B\otimes _{A}N} in {\displaystyle B\otimes _{A}M}.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 18.09. 2019