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Faktorieller Ring

Ein faktorieller Ring, auch ZPE-Ring (Abk. für: „Zerlegung in Primelemente“), Gaußscher Ring oder EPZ-Ring ist eine algebraische Struktur, und zwar ein Integritätsring, in dem jedes Element a\neq 0 eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Faktorielle Ringe sind nicht zu verwechseln mit Faktorringen.

Definition

Ein Integritätsring A heißt faktoriell, wenn er die folgende Eigenschaft besitzt:

Für einen Integritätsring ist die Eigenschaft, faktoriell zu sein, äquivalent zur Eigenschaft, ein ZPE-Ring zu sein:

Zerlegung in irreduzible Faktoren

a \in R hat eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Darstellung

a=\varepsilon \,q_{1}\,q_{2}\dots q_{r}

mit einer Einheit \varepsilon und irreduziblen Elementen q_{i} hat. Dabei ist das leere Produkt von irreduziblen Elementen, also r=0, zugelassen, welches dem Einselement des Ringes gleichzusetzen ist. Diese Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig, wenn bei jeder weiteren solchen Darstellung

a=\varepsilon '\,q_{1}'\,q_{2}'\dots q_{{r'}}'

gilt: r=r' und q_{i}\sim q_{i}' (nach eventuellem Umnummerieren).

q_{i}\sim q_{i}' bedeutet: q_{i} und q_{i}' sind assoziiert.

Sind die q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{r} nicht nur irreduzibel sondern sogar Primelemente, folgt daraus bereits die Eindeutigkeit der Darstellung (bis auf Assoziiertheit).

Eigenschaften

Beispiele

Gegenbeispiele

Ein Beispiel für einen Ring, in dem es eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt, die nicht eindeutig ist, ist der Ring {\mathbb  Z}\left[{\sqrt  {-5}}\right] (siehe Adjunktion): In den beiden Produktdarstellungen

6=2\cdot 3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\cdot\left(1-\sqrt{-5}\right)

sind die Faktoren jeweils irreduzibel, aber unter den vier Zahlen 2,3,1+{\sqrt  {-5}} und 1-{\sqrt  {-5}} sind keine zwei assoziiert. Die Einheiten in diesem Ring sind +1 und -1.


Ein Beispiel für einen Ring, in dem eine Zerlegung in irreduzible Elemente nicht immer existiert, diese aber eindeutig ist, wann immer sie existiert, ist der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet U in der komplexen Ebene \mathbb {C} (mit punktweiser Addition und Multiplikation): Dieser Ring ist nullteilerfrei (das folgt aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen). Die Einheiten sind genau die holomorphen Funktionen ohne Nullstellen (also z. B. die komplexe Exponentialfunktion). Die irreduziblen Elemente sind bis auf Einheiten genau die Funktionen der Form (z\mapsto z-a) für einen Punkt a\in U. Daraus folgt, dass eine holomorphe Funktion genau dann ein Produkt aus irreduziblen Elementen ist, wenn sie nur endlich viele Nullstellen hat. Da es aber auf jedem Gebiet auch holomorphe Funktionen gibt mit unendlich vielen Nullstellen, ist dieser Ring kein faktorieller Ring. Falls eine holomorphe Funktion allerdings eine solche Darstellung hat, so ist diese im Wesentlichen eindeutig, weil die irreduziblen Elemente alle prim sind.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 13.08. 2020