Untermodul

Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes eines Vektorraums auf einen Modul über einem Ring.

Definition

Sei M ein Rechtsmodul über dem unitären Ring R. Eine Untergruppe U von M heißt R-Untermodul, wenn U abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus R. Das bedeutet: Für alle u\in U und alle r \in R ist {\displaystyle u\cdot r\in U}. Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.

Beispiele und weitere Definitionen

Summe von Untermoduln

{\displaystyle \sum _{i\in I}U_{i}=\left\{\sum _{i\in I_{e}}u_{i}\mid I_{e}\,{\text{endlich}},\ I_{e}\subset I\right\}}
ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln {\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}.
{\displaystyle \bigcap \{V\mid V{\text{ Untermodul von }}M,X\subset V\}=\sum _{x\in X}xR}
der kleinste Untermodul von {\displaystyle M_{R}}, welcher die Menge X enthält. Ist
{\displaystyle U=\sum _{x\in X}xR,}
so erzeugt X den Untermodul U. Man sagt auch X ist ein Erzeugendensystem von  U .

Innere direkte Summe von Untermoduln

Die innere direkte Summe von Moduln wird wie die innere direkten Summe von Vektorräumen definiert. Im Unterschied zu einem Vektorraum hat nicht jeder Modul eine Basis, sodass ein Modul normalerweise nicht die innere direkte Summe von zyklischen Untermoduln ist.

Definition

Sei {\displaystyle (U_{i}\mid i\in I)} eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls  M und {\displaystyle \textstyle V=\sum _{i\in I}U_{i}}. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

Trifft eine dieser Aussagen zu, so heißt V die innere direkte Summe der {\displaystyle U_{i}}. Diese direkte Summe wird mit

{\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}U_{i}}

bezeichnet. Der Untermodul {\displaystyle 0\neq U_{R}} von M heißt direkter Summand von  M , wenn es einen Untermodul V von M gibt mit {\displaystyle U\oplus V=M}. Der Modul  M heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich \{0\} hat.

Beispiele

  1. Ist V ein Vektorraum über einem Körper oder Schiefkörper und {\displaystyle \{x_{i}\mid i\in I\}} eine Basis von V und ist V_{i} für jedes i\in I der von x_{i} erzeugte Untervektorraum, so ist {\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}.
  2. Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
  3. Ist R ein Integritätsring und {\displaystyle K_{R}} sein Quotientenkörper, so ist {\displaystyle K_{R}} als Modul über R unzerlegbar.
  4. {\displaystyle 2\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} } ist kein direkter Summand, da es keinen injektiven Morphismus {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } gibt

Besondere Untermoduln

Maximale Untermoduln

Ein Untermodul U\subset M heißt maximal, wenn  U in keinem echten Untermodul von M echt enthalten ist.

U\subset M ist genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Faktormodul {\displaystyle M/U} einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist in einem maximalen Untermodul. Das heißt insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat  \Q keine maximalen Untermoduln.

Große Untermoduln

Definition

Für einen Untermodul  U von M sind äquivalent:

Erfüllt ein Untermodul U\subset M eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt  U groß in  M. Manchmal wird dies mit {\displaystyle U\trianglelefteq M} abgekürzt.

Beispiele

Eigenschaften

Der Sockel eines Moduls

Ist  M ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von  M . Er ist der größte halbeinfache Untermodul von  M . Er wird mit {\displaystyle \mathrm {So} (M)} bezeichnet. Ist

{\displaystyle f\colon M\rightarrow N}

ein Homomorphismus zwischen Moduln {\displaystyle M,N}, so ist {\displaystyle f(\mathrm {So} (M))} ein Untermodul von {\displaystyle \mathrm {So} (N)}. Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein  S -Untermodul von  M ist, wenn  S der Endmorphismenring von  M ist. Der Sockel des Ringes R als  R-Rechtsmodul ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist

{\displaystyle \mathrm {So} (\mathrm {So} (M))=\mathrm {So} (M)}

Der Sockel ist ein Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist (A_{i})_{{i\in I}} eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist

{\displaystyle \mathrm {So} (\oplus _{i}A_{i})=\oplus _{i}(\mathrm {So} (A_{i}))}.

Kleine Untermoduln

Ein Untermodul {\displaystyle A\subset M} heißt klein in  M , wenn für alle Untermoduln  U von M gilt: Ist {\displaystyle A+U=M}, so ist {\displaystyle U=M}.

Beispiele

Eigenschaften

Das Radikal eines Moduls

Die Summe aller kleinen Untermoduln von  M ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von  M . Dieser Untermodul heißt Radikal von  M . Er wird mit {\displaystyle \operatorname {Rad(M)} } bezeichnet.

Eigenschaften des Radikals

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 29.09. 2019