Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings R ein Ideal von R, das Elemente von R enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins und M ein R-Linksmodul.

Definition

Der Durchschnitt aller maximalen R-Untermoduln von M wird als (Jacobson-)Radikal {\displaystyle \mathrm {Rad} _{R}(M)} (oder kurz {\displaystyle \mathrm {Rad} (M)}) bezeichnet.

Ist M endlich erzeugt, so gilt: {\displaystyle \mathrm {Rad} (M)=\{x\in M|x\ \mathrm {ist\ {\ddot {u}}berfl{\ddot {u}}ssig\ in} \ M\}}. Dabei heißt ein Element x von M überflüssig, wenn für jeden Untermodul {\displaystyle N\subset M} gilt: Aus {\displaystyle M=N+Rx} folgt bereits {\displaystyle M=N}.

Eigenschaften

Jacobson-Radikal von Ringen

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins.

Definition

Das Jacobson-Radikal des Ringes R wird als das Jacobson-Radikal des R-Linksmoduls R definiert. Es wird als {\displaystyle J(R)} notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

Eigenschaften

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 20.10. 2021